La matrice di massa è un operatore che descrive la distribuzione dell'inerzia in un sistema materiale. Si può usare per mettere in relazione le [[Meccanica Lagrangiana|velocità lagrangiane]] con l'[[Energia cinetica|energia cinetica]] di un sistema olonomo. ### Proprietà della matrice di massa La **matrice di [[Geometria delle masse|massa]]** $A(q, t)$, di componenti $a_{hk}$, possiede caratteristiche algebriche precise che riflettono proprietà fisiche del sistema meccanico. #### Simmetria e diagonalizzabilità La simmetria della [[Matrici|matrice]] di massa ($a_{hk} = a_{kh}$) discende direttamente dalla simmetria del [[Prodotto scalare|prodotto scalare]] nello spazio euclideo. Per il [[Teorema spettrale|teorema spettrale]], una matrice simmetrica a valori reali è sempre **diagonalizzabile** tramite una base di [[Autovalori e autovettori|autovettori]] ortonormali. #### Positività e invertibilità La matrice $A$ è definita positiva, il che implica che tutti i suoi autovalori siano strettamente positivi ($\lambda_i > 0$). Questa proprietà è una conseguenza diretta della natura dell'[[Energia cinetica|energia cinetica]] $T$: - $T$ deve essere sempre non negativa ($T \geq 0$). - $T$ è nulla se e solo se il sistema è in quiete (tutte le velocità dei punti sono nulle). Se esistesse un [[Autovalori e autovettori|autovalore]] nullo o negativo, sarebbe possibile costruire un atto di moto con velocità non nulle tale da avere energia cinetica nulla o negativa, violando i principi della fisica classica. La definita positività garantisce inoltre che la matrice sia invertibile ($\det(A) \neq 0$), condizione necessaria per risolvere le [[Equazioni di Lagrange|equazioni del moto]] rispetto alle accelerazioni generalizzate $\ddot{q}$. ### Relazione con l'energia cinetica Per un [[Sistemi vincolati|sistema olonomo]] con vincoli dipendenti dal tempo, l'energia cinetica si esprime come una funzione polinomiale di secondo grado nelle velocità lagrangiane $\dot{q}$: $ T(q, \dot{q}, t) = \frac{1}{2} \dot{q} \cdot A(q, t) \dot{q} + b(q, t) \cdot \dot{q} + c(q, t) $ Dove: - $\frac{1}{2} \dot{q} \cdot A \dot{q}$ è la parte quadratica pura ($T_2$). - $b \cdot \dot{q}$ è la parte lineare nelle velocità ($T_1$). - $c$ è il termine noto ($T_0$), legato alla variazione esplicita dei vincoli nel tempo. In presenza di **vincoli fissi** (indipendenti dal tempo), i termini $b$ e $c$ svaniscono, e l'energia cinetica si riduce a una forma quadratica pura: $ T(q, \dot{q}) = \frac{1}{2} \dot{q} \cdot A(q) \dot{q} $ ### Esempi ed esercizi Immagina di far ruotare un sasso legato a uno spago che puoi accorciare o allungare. Sebbene la massa del sasso sia costante, la fatica che fai per accelerarlo (la sua "inerzia rotazionale") cambia a seconda della lunghezza dello spago. La matrice di massa fa esattamente questo: ci dice quanta "inerzia" incontra il sistema in ogni direzione del movimento, e questa inerzia può cambiare a seconda della configurazione $q$ in cui si trova il sistema. ### Collegamenti --- > [!info]- Risorse > ![[!Meccanica Razionale#Risorse#Bibliografia]] > ![[!Meccanica Razionale#Risorse#Approfondimenti]]