La **meccanica relativa** estende le leggi della dinamica classica a [[Sistemi di riferimento non inerziali]], introducendo le **forze apparenti** per giustificare le accelerazioni misurate da osservatori in moto accelerato o rotatorio. ### Fondamenti della dinamica non inerziale I [[Principi della meccanica|principi della meccanica]] postulano l'esistenza di sistemi inerziali dove i punti isolati mantengono il moto rettilineo uniforme. Tuttavia, nella realtà fisica, la maggior parte dei sistemi (come la Terra) è soggetta a rotazioni o accelerazioni. Per applicare la [[Forza e quantità di moto|legge fondamentale della dinamica]] in un sistema non inerziale, è necessario introdurre delle correzioni sotto forma di **forze fittizie o apparenti.** L'equazione del moto per un punto materiale di massa $m$ in un riferimento non inerziale è: $\color {green} m \mathbf{a} = \mathbf{F} + \mathbf{F}_{\tau} + \mathbf{F}_{c}$ dove $\mathbf{F}$ rappresenta la risultante delle forze reali (interazioni fisiche), mentre $\mathbf{F}_{\tau}$ e $\mathbf{F}_{c}$ sono rispettivamente la **forza di trascinamento** e la [[Forze di Coriolis|forza di Coriolis]]. Queste ultime non derivano da interazioni fisiche, ma dalla scelta del sistema di riferimento. Basandoci sulla [[Cinematica relativa|cinematica relativa]], le forze sono definite come: - **Forza di trascinamento**: $\color {orange} \mathbf{F}_{\tau} = -m \mathbf{a}_{\tau} = -m \left( \mathbf{a}_{O} + \dot{\boldsymbol{\omega}} \wedge OP + \boldsymbol{\omega} \wedge (\boldsymbol{\omega} \wedge OP) \right)$ - **Forza di Coriolis**: $\color {orange} \mathbf{F}_{c} = -m \mathbf{a}_{c} = -2m \boldsymbol{\omega} \wedge \mathbf{v}$ In queste espressioni, $\mathbf{a}_{O}$ è l'accelerazione dell'origine del sistema mobile, $\boldsymbol{\omega}$ è la velocità angolare, $OP$ è il vettore posizione e $\mathbf{v}$ è la velocità relativa del punto. Il simbolo $\wedge$ indica il [[Prodotto vettoriale|prodotto vettoriale]]. ### Statica relativa e riduzione delle forze Nella **[[Statica del corpo rigido|statica]] relativa**, l'obiettivo è determinare le condizioni di equilibrio in un sistema non inerziale. Poiché per definizione di quiete relativa la velocità $\mathbf{v}$ è nulla, la forza di Coriolis svanisce ($\mathbf{F}_{c} = \mathbf{0}$). L'equazione di equilibrio diventa quindi: $\color {green} \mathbf{F} + \mathbf{F}_{\tau} = \mathbf{0}$ dove il risultante delle forze di trascinamento è equivalente alla forza che agirebbe sul [[Centro di massa|baricentro]] $G$ se in esso fosse concentrata l'intera massa $M$ del sistema. Per l'equivalenza statica completa, è necessario che coincidano anche i momenti. In un sistema puramente traslante ($\boldsymbol{\omega} = \mathbf{0}$), il sistema delle forze di trascinamento è sempre equivalente al suo risultante applicato in $G$. $ \begin{aligned} \mathbf{R} & =-\sum_{i=1}^{n} m_{i}\left(\mathbf{a}_{O}+\dot{\boldsymbol{\omega}} \wedge O P_{i}+\boldsymbol{\omega} \wedge\left[\boldsymbol{\omega} \wedge O P_{i}\right]\right) = -m \mathbf{a}_{O}-m \dot{\boldsymbol{\omega}} \wedge O G-m \boldsymbol{\omega} \wedge(\boldsymbol{\omega} \wedge O G) \end{aligned} $ $ \mathbf{M}_{Q}=\sum_{i=1}^{n} Q P_{i} \wedge\left(-m_{i} \mathbf{a}_{O}\right)=Q G \wedge \mathbf{R} $ #### Esempio: Sistema di riferimento traslante Consideriamo il caso di un sistema di riferimento non inerziale i cui assi rimangano sempre paralleli a quelli di un sistema inerziale, ma il cui origine $O$ possieda un'accelerazione pari a $\mathbf{a}_{O}$. Essendo nulla la velocità angolare $\boldsymbol{\omega}$, la forza apparente agente su ogni punto $P_{i}$ di massa $m_{i}$ si riduce alla forza di trascinamento $\mathbf{F}_{\tau i}=-m_{i} \mathbf{a}_{O}$ #### Esempio: Sistema di riferimento rotante In un sistema rotante, come un disco scabro, l'equilibrio di un punto materiale dipende dal bilancio tra [[forza centrifuga]] e [[Legge di Coulomb-Morin|attrito statico]]. Se un punto $P$ è appoggiato su un disco che ruota con velocità $\omega$, la forza centrifuga tende a spingerlo verso l'esterno. La reazione vincolare d'attrito $\mathbf{\Phi}$ deve compensare tale spinta: $m \mathbf{g} + \mathbf{F}_{cen} + \mathbf{\Phi} = \mathbf{0}$ Affinché il punto rimanga in equilibrio relativo, la forza centrifuga non deve superare il valore massimo dell'attrito statico ($f_{s} N$). Questo definisce una regione di equilibrio (cerchio di raggio $R$): $R \leq \frac{g f_{s}}{\omega^{2}}$ ![[Pasted image 20260512154438.png]] ### Componenti conservative e potenziale La forza di trascinamento non è sempre conservativa. Affinché ammetta un'[[Energia potenziale|energia potenziale]], devono essere soddisfatte condizioni specifiche: 1. **Traslazione uniforme**: Se l'accelerazione dell'origine $\mathbf{a}_{O}$ è costante, il potenziale associato è $U_{O} = -m \mathbf{a}_{O} \cdot OP$. 2. **Rotazione uniforme**: Se $\boldsymbol{\omega}$ è costante, il termine $-m \dot{\boldsymbol{\omega}} \wedge OP$ svanisce. In questo caso, la [[Forza centrifuga|forza centrifuga]] $\mathbf{F}_{cen} = -m \boldsymbol{\omega} \wedge (\boldsymbol{\omega} \wedge OP)$ ammette un potenziale: $U_{cen} = \frac{1}{2} I_{\omega} \omega^{2}$ dove $I_{\omega}$ è il [[Momento d'inerzia|momento d'inerzia]] del sistema rispetto all'asse di rotazione. Questo potenziale è fondamentale per studiare la [[Stabilità dell'equilibrio|stabilità dell'equilibrio]] tramite il criterio di stazionarietà. ### Esempi ed esercizi Immaginiamo una lamina quadrata appesa a un perno $A$ su una giostra che ruota velocemente. Se la giostra è ferma, la lamina punta verso il basso per gravità. Quando la giostra ruota, la lamina tende a "sollevarsi" verso l'esterno. Perché? Dal punto di vista di chi è sulla giostra, agisce una "forza centrifuga" che spinge il baricentro lontano dall'asse. L'equilibrio nasce dal bilancio tra il peso (che vuole abbassare la lamina) e la forza centrifuga (che vuole alzarla). Se la rotazione supera una velocità critica $\omega_{0}$, la posizione verticale diventa instabile e la lamina trova un nuovo equilibrio "obliquo". ![[Pasted image 20260512154339.png]] *Figura: Lamina quadrata in piano uniformemente ruotante.* Per analizzare questo sistema, usiamo il [[Teorema di Huygens-Steiner|teorema di Huygens-Steiner]] per calcolare il momento d'inerzia rispetto all'asse di rotazione e deriviamo il potenziale totale $U(\alpha)$. ##### Domande di teoria - Perché la [[Teorema di Coriolis|forza di Coriolis]] non influenza l'equilibrio statico di un punto in un sistema rotante? - Qual è la condizione necessaria sul rotore affinché la forza di trascinamento sia conservativa? - Come si esprime il potenziale centrifugo per un sistema di punti materiali? ##### Esercizi - Calcolare il risultante delle forze di trascinamento per un'asta omogenea di massa $M$ e lunghezza $L$ in rotazione uniforme attorno a un suo estremo - Calcolare il raggio massimo di equilibrio per un punto materiale su un disco rotante a $60 \text{ rpm}$ con coefficiente di attrito $f_s = 0.3$. - Esempio: Lamina quadrata in piano uniformemente ruotante | Biscari ### Collegamenti --- > [!info]- Risorse > ![[!Meccanica Razionale#Risorse#Bibliografia]] > ![[!Meccanica Razionale#Risorse#Approfondimenti]] --- > [!example] Playlist > ![[!Meccanica Razionale#Risorse#Forze Fittizie]]