Per analizzare la variazione del [[Momento d'inerzia|momento di inerzia]] in funzione della direzione, si considera una stella di rette con centro in $O$. Ogni retta è identificata da un [[Vettori|versore]] $\mathbf{u}$ le cui componenti $(\alpha, \beta, \gamma)$ rappresentano i coseni direttori rispetto a un [[Coordinate cartesiane|sistema di riferimento]] ortonormale. $OP = x \mathbf{e}_1 + y \mathbf{e}_2 + z \mathbf{e}_3$ $\mathbf{u} = \alpha \mathbf{e}_1 + \beta \mathbf{e}_2 + \gamma \mathbf{e}_3$ La distanza $r$ di un punto $P$ del corpo dall'asse è determinata tramite il [[Prodotto vettoriale|prodotto vettoriale]]: $r = |OP \wedge \mathbf{u}| = |OP| \sin \theta$ dove $\theta$ è l'angolo tra il raggio vettore $OP$ e la direzione dell'asse. ![[Pasted image 20260506115307.png]] ### Espressione analitica e prodotti d'inerzia Sviluppando l'[[Integrale alla Riemann|integrale]] del momento d'inerzia lungo la direzione $\mathbf{u}$, si ottiene una forma che dipende sia dai **momenti assiali** relativi agli assi coordinati ($I_x, I_y, I_z$), che dai **prodotti d'inerzia:** $\color {green} I_u = I_x \alpha^2 + I_y \beta^2 + I_z \gamma^2 + 2 I_{xy} \alpha \beta + 2 I_{xz} \alpha \gamma + 2 I_{yz} \beta \gamma$ I **prodotti d'inerzia** ($I_{xy}, I_{xz}, I_{yz}$): definiti come $I_{x y}=-\int_{\mathcal{B}} \varrho x y d \tau, \quad I_{x z}=-\int_{\mathcal{B}} \varrho x z d \tau, \quad I_{y z}=-\int_{\mathcal{B}} \varrho y z d \tau$ quantificano l'asimmetria della distribuzione di massa rispetto ai piani coordinati. Se un piano coordinato è di [[Centro di massa|simmetria materiale]], i prodotti d'inerzia ad esso relativi si annullano. ### Formulazione tensoriale L'intera informazione inerziale del corpo rispetto al polo $O$ è racchiusa nel [[Tensore d'inerzia|tensore d'inerzia]] (o **matrice d'inerzia**) $\mathbf{I}_O$. Il momento d'inerzia rispetto a qualunque direzione $\mathbf{u}$ può essere quindi calcolato tramite la forma quadratica compatta: $\color {green} I_u = \mathbf{u} \cdot \mathbf{I}_O \mathbf{u}$ Questa formulazione è fondamentale nella [[!Meccanica Razionale|meccanica razionale]] poiché permette di: - Determinare il momento d'inerzia per ogni asse della stella senza ricalcolare l'integrale. - Calcolare il prodotto d'inerzia tra due assi ortogonali $\mathbf{u}$ e $\mathbf{v}$ tramite la relazione $\color {green} I_{uv} = \mathbf{u} \cdot \mathbf{I}_O \mathbf{v}$ - Individuare gli assi principali d'inerzia attraverso il calcolo di [[Autovalori e autovettori|autovalori e autovettori]] della [[Matrici|matrice]] d'inerzia. ##### Domande di teoria **Rispondere alle seguenti domande specifiche:** - [ ] Cosa sono i prodotti d'inerzia? - [ ] Quale è la relazione tra momento angolare e tensore d'inerzia? - [ ] Dimostrare il **teorema per il momento d'inerzia degli assi concorrenti** ricavandone l'espressione analitica in forma integrale e matriciale *Consultare le risorse consigliate in fondo alla nota per soluzioni e approfondimenti.* ##### Esempi ed esercizi **Risolvere i seguenti esempi ed esercizi:** - [ ] Esercizi lezione 40 | Turzi *Consultare le risorse consigliate in fondo alla nota per soluzioni e approfondimenti.* --- > [!info]- Risorse > ![[!Meccanica Razionale#Risorse#Bibliografia]] > ![[!Meccanica Razionale#Risorse#Approfondimenti]]