Il **momento** $\boldsymbol{m}_{O}$ del [[Sistema di vettori applicati|vettore applicato]] ( $P_{i}, \boldsymbol{v}_{i}$ ) rispetto ad un punto di riferimento $O \in \mathcal{E}$, detto polo, è definito da
$ \color {orange}
\begin{equation*}
\boldsymbol{m}_{O}:=P_{i}-O \wedge \boldsymbol{v}_{i} \tag{1.3}
\end{equation*}
$
Detta $d_{i O}:=\left|P_{i}-O\right|$ la distanza del punto di applicazione $P_{i}$ dal polo $O$, abbiamo
$ \color {green}
\begin{equation*}
\left|\boldsymbol{m}_{O}\right|=d_{i O}\left|\boldsymbol{v}_{i}\right| \sin \alpha=b\left|\boldsymbol{v}_{i}\right| \tag{1.4}
\end{equation*}
$
dove $\alpha \in[0, \pi]$ è l'angolo tra la retta passante per $P_{i}$ ed $O$ e la retta di applicazione del vettore applicato $\left(P_{i}, \boldsymbol{v}_{i}\right)$, vale a dire retta passante per $P_{i}$ e diretta come $\boldsymbol{v}_{i}$. In (1.4), abbiamo introdotto $b:=d_{i O} \sin \alpha$ che rappresenta la distanza da $O$ della retta di applicazione di ( $P_{i}, \boldsymbol{v}_{i}$ ).
#### Momento risultante
Il **momento risultante** $\boldsymbol{M}_{O}$ del sistema di vettori applicati (1.1) rispetto ad un polo $O \in \mathcal{E}$ è definito come
$ \color {orange}
\begin{equation*}
\boldsymbol{M}_{O}:=\sum_{i=1}^{N}\left(P_{i}-O\right) \wedge \boldsymbol{v}_{i} \tag{1.5}
\end{equation*}
$
#### Teorema di trasporto
*Il seguente **teorema di trasporto** evidenzia la dipendenza del momento di un certo sistema di vettori applicati dalla scelta del polo.*
Presi due punti $O$ e $Q$ qualsiasi nello spazio euclideo $\mathcal{E}$ ed un sistema di vettori applicati $\Sigma$, abbiamo
$\color {green}
\begin{equation*}
\boldsymbol{M}_{Q}=\boldsymbol{M}_{O}+\boldsymbol{R} \wedge(Q-O)=\boldsymbol{M}_{O}+(O-Q) \wedge \boldsymbol{R}
\end{equation*}
$
Dal teorema di trasposto seguono i seguenti corollari:
- **Corollario 1.1**
Condizione necessaria e sufficiente affinché il momento di un sistema $\Sigma$ di vettori applicati sia indipendente dalla scelta del polo è che $\boldsymbol{R}=\mathbf{0}$.
- ne consegue che il momento di una [[Coppia|coppia]] è indipendente dalla scelta del polo
- **Corollario 1.2**:
Per un sistema di vettori applicati qualsiasi $\Sigma$, lo scalare
$ \color {orange}
\begin{equation*}
\mathcal{I}:=\boldsymbol{R} \cdot \boldsymbol{M}_{O} \tag{1.10}
\end{equation*}
$
è indipendente dalla scelta del polo $O \in \mathcal{E}$ ed è detto **trinomio invariante** di $\Sigma$.
- **Corollario 1.3**
Assegnato un sistema $\Sigma$ di vettori applicati con risultante $\boldsymbol{R} \neq \mathbf{0}$ e preso un punto $O \in \mathcal{E}$, il luogo dei punti $Q \in \mathcal{E}$ tali che $\boldsymbol{M}_{Q}=\boldsymbol{M}_{O}$ è formato dalla retta passante per $O$ e diretta lungo $\boldsymbol{R}$.
In molte applicazioni è utile saper risolvere l'equazione
$
\begin{equation*}
x \wedge a=b
\end{equation*}
$
dove $\boldsymbol{a}$ e $\boldsymbol{b}$ sono due vettori che supporremo entrambi diversi da $\mathbf{0}$.
È possibile dimostrare il seguente teorema.
**Teorema 1.2**
**Condizione necessaria e sufficiente** affinché l'equazione (1.11) sia risolubile è che
$\color {green}
\begin{equation*}
\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}=0
\end{equation*}
$
accertata la validità di questa condizione, le soluzioni di (1.11) sono tutti e soli $i$ vettori $\boldsymbol{x}$ dati dalla formula
$\color {green}
\begin{equation*}
\boldsymbol{x}=\frac{1}{\left|\boldsymbol{a}^{2}\right|} \boldsymbol{a} \wedge \boldsymbol{b}+\lambda \boldsymbol{a}
\end{equation*}
$
*dove $\lambda \in \mathbb{R}$.*
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