I **moti alla Poinsot** descrivono la dinamica rotazionale di un corpo rigido in cui il momento risultante delle forze esterne, calcolato rispetto a un polo specifico, è costantemente nullo. In queste condizioni, il sistema conserva sia il momento angolare sia l'energia cinetica rotazionale, permettendo uno studio analitico rigoroso della stabilità rotazionale e dei moti di precessione. ### Definizione e proprietà Un moto si definisce "alla Poinsot" se esiste un polo $Q$, che può essere un punto fisso oppure coincidente con il [[centro di massa]] $G$, tale per cui il momento delle forze esterne sia nullo a tutti gli istanti: $\color {orange}\mathbf{M}_{Q}^{(\mathrm{e})} = \mathbf{0}$ ==Questa condizione si verifica tipicamente in corpi rigidi isolati (assenza di forze attive) o in corpi pesanti vincolati nel centro di massa, dove la [[Forza peso|forza peso]] non genera momento.== #### Integrali primi del moto Dalla [[Equazioni cardinali della meccanica|seconda equazione cardinale]] della dinamica ($\dot{\mathbf{K}}_{Q} = \mathbf{M}_{Q}^{(\mathrm{e})}$), l'annullamento del momento esterno implica la conservazione del [[Momento di una forza e Momento angolare|momento angolare]]: $\color {green} \mathbf{K}_{Q} = \mathbf{I}_{Q} \boldsymbol{\omega} = \text{costante} = \mathbf{K}_{0}$ Inoltre, poiché la potenza delle forze esterne è nulla per ipotesi di moto alla Poinsot, si conserva anche l'[[Energia cinetica|energia cinetica]] rotazionale: $\color {green} T_{0} = \frac{1}{2} \mathbf{K}_{Q} \cdot \boldsymbol{\omega} = \frac{1}{2} \mathbf{I}_{Q} \boldsymbol{\omega} \cdot \boldsymbol{\omega} = \text{costante}$ Proiettando queste due quantità conservate su una terna solidale formata dagli [[Assi e momenti principali d'inerzia|assi principali d'inerzia]] (con momenti $I_1, I_2, I_3$), si ottengono due equazioni fondamentali che vincolano l'evoluzione delle componenti della velocità angolare $\boldsymbol{\omega}=\omega_{1} \mathbf{e}_{1}+\omega_{2} \mathbf{e}_{2}+\omega_{3} \mathbf{e}_{3}$: $ \begin {cases} I_{1}^{2} \omega_{1}^{2} + I_{2}^{2} \omega_{2}^{2} + I_{3}^{2} \omega_{3}^{2} = K_{0}^{2} \\ I_{1} \omega_{1}^{2} + I_{2} \omega_{2}^{2} + I_{3} \omega_{3}^{2} = 2 T_{0} \end {cases} $ Tali integrali primi consentono di dimostrare che la componente della velocità angolare $\boldsymbol{\omega}$ lungo la direzione (fissa) individuata da $\mathbf{K}_{0}$ è costante: $\color {green} \omega_{K_{0}}=\frac{\omega \cdot \mathbf{K}_{0}}{K_{0}}=\frac{2 T_{0}}{K_{0}} $ ### Rotazioni permanenti Sebbene $\mathbf{K}_Q$ sia costante, la velocità angolare $\boldsymbol{\omega}$ in generale non lo è, poiché il [[Tensore d'inerzia|tensore d'inerzia]] $\mathbf{I}_Q$ varia nel tempo rispetto a un osservatore fisso. ==Un moto alla Poinsot in cui la velocità angolare rimane costante è detto *rotazione permanente*.== Dalle [[Equazioni di Eulero|equazioni di Eulero]], affinché $\dot{\boldsymbol{\omega}} = \mathbf{0}$, deve valere $\boldsymbol{\omega} \wedge \mathbf{I}_{Q} \boldsymbol{\omega} = \mathbf{0}$. Questo implica che $\mathbf{I}_{Q} \boldsymbol{\omega}$ deve essere parallelo a $\boldsymbol{\omega}$, ovvero $\boldsymbol{\omega}$ deve essere un [[Autovalori e autovettori|autovettore]] della **matrice d'inerzia**. Pertanto, le rotazioni permanenti avvengono se e solo se l'asse di rotazione coincide con un **asse principale d'inerzia.** #### Stabilità delle Rotazioni Permanenti La [[Stabilità di sistemi|stabilità]] di una rotazione permanente risponde alla domanda: se la velocità angolare iniziale è solo *approssimativamente* parallela a un asse principale, essa rimarrà confinata nell'intorno di tale asse? Siano $I_1 \le I_2 \le I_3$ i momenti principali d'inerzia. Il teorema di stabilità afferma che: - Le rotazioni attorno agli assi associati a $I_1$ (momento minimo) e $I_3$ (momento massimo) sono **stabili**. *Una piccola perturbazione costringe il vettore $\boldsymbol{\omega}$ a descrivere traiettorie chiuse (ellissi) attorno all'asse principale, mantenendosi vicino alla condizione iniziale.* - La rotazione attorno all'asse associato a $I_2$ (momento intermedio) è **instabile**. *Le perturbazioni seguono traiettorie aperte (rami di iperbole, che sono [[Coniche|coniche]]), portando il vettore $\boldsymbol{\omega}$ ad allontanarsi drasticamente dalla sua direzione iniziale* La dimostrazione per l'asse $\mathbf{e}_3$ (con $I_1 \le I_2 < I_3$) si basa sulla combinazione degli integrali primi dell'energia e del momento angolare. Moltiplicando l'equazione dell'energia per $I_3$ e sottraendo il quadrato del momento angolare, si ottiene: $I_{1}(I_{3}-I_{1}) \omega_{1}^{2} + I_{2}(I_{3}-I_{2}) \omega_{2}^{2} = 2 I_{3} T_{0} - K_{0}^{2}$ Questa è l'equazione di un'ellisse nel piano $(\omega_1, \omega_2)$. Se la perturbazione iniziale è piccola, i semiassi dell'ellisse sono piccoli, garantendo che $\omega_1$ e $\omega_2$ restino limitati (stabilità). Al contrario, per l'asse intermedio $\mathbf{e}_2$, i segni opposti delle differenze d'inerzia generano un'iperbole, portando le componenti ad allontanarsi indefinitamente dal valore iniziale (instabilità). #### Il Giroscopio nel moto alla Poinsot Se il corpo possiede una simmetria tale per cui due momenti d'inerzia sono uguali (es. $I_1 = I_2 \neq I_3$), esso è definito **giroscopio**. In questo caso, le equazioni differenziali del moto si semplificano notevolmente. La componente $\omega_3$ lungo l'asse di simmetria rimane costante, e il vettore $\boldsymbol{\omega}$ descrive un cono attorno all'asse fisso di $\mathbf{K}_Q$. $\color {green} \begin{equation*} \boldsymbol{\omega}=\frac{\mathbf{K}_{Q}}{I_{1}}-\alpha \omega_{30} \mathbf{e}_{3} \end{equation*} $ *Un esempio classico è il cilindro omogeneo lanciato nel vuoto: il baricentro descrive una parabola, mentre il corpo compie una precessione regolare attorno al proprio asse di simmetria.* ![[Pasted image 20260507162245.png]] ### Esempi ed esercizi Prendi uno smartphone. Questo oggetto ha tre assi di simmetria con tre inerzie diverse: l'asse perpendicolare allo schermo (inerzia massima), l'asse lungo il lato corto (inerzia minima) e l'asse lungo il lato lungo (inerzia intermedia). Lancialo in aria facendolo ruotare attorno all'asse di inerzia massima: ruoterà in modo pulito. Lancialo facendolo ruotare attorno all'asse di inerzia minima: ruoterà altrettanto bene. Ora prova a lanciarlo facendolo ruotare attorno all'asse intermedio (il lato lungo): vedrai che a metà volo l'oggetto si "ribalterà" su se stesso in modo caotico. Questo accade perché la rotazione sull'asse intermedio è matematicamente instabile: la minima imperfezione nel lancio viene amplificata dalle equazioni del moto, costringendo l'oggetto a capovolgersi. ##### Domande di teoria - Quali sono le due quantità scalari che si conservano sempre in un moto alla Poinsot e come si deducono dalle equazioni cardinali? - Qual è la condizione necessaria e sufficiente affinché un moto alla Poinsot sia una rotazione permanente? - Perché in un giroscopio ($I_1 = I_2$) la componente della velocità angolare lungo l'asse di simmetria si conserva? - Ricava gli integrali primi per un giroscopio e l'espressione della sua velocità angolare ##### Esercizi - Esempio: Precessione terrestre | Biscari - **Esercizio 1**: Un corpo rigido isolato ha momenti principali d'inerzia $I_1 = 2, I_2 = 3, I_3 = 4 \text{ kg}\cdot\text{m}^2$. All'istante iniziale, la velocità angolare è $\boldsymbol{\omega} = (0, 5, 0) \text{ rad/s}$. Verificare se il moto è una rotazione permanente e calcolare l'energia cinetica $T_0$. - **Esercizio 2**: Un giroscopio ($I_1 = I_2 = I, I_3 \neq I$) compie un moto alla Poinsot. Dimostrare analiticamente, partendo dagli integrali primi, che il modulo della velocità angolare $|\boldsymbol{\omega}|$ si mantiene costante nel tempo. ### Collegamenti --- > [!info]- Risorse > ![[!Meccanica Razionale#Risorse#Bibliografia]] > ![[!Meccanica Razionale#Risorse#Approfondimenti]]