Il moto di un corpo rigido è in generale descritto da 6 parametri, di cui 3 sono traslazionali (x, y, z) e 3 rotazionali, descrivibili tramite [[Angoli di Eulero]] ($\phi, \theta, \psi$) Esistono però alcuni casi particolari di moti rigidi in cui il corpo è limitato in uno o più dei suoi gradi di libertà (GDL), questi sono i casi qui analizzati: - **Moto traslatorio:** 3 GDL - **Moto roto-traslatorio:** 4 GDL - **Moto elicoidale:** 2 GDL - **Moto rotatorio:** 1 GDL - **Moto piano:** 3 GDL - **Moto polare:** 3 GDL - **Moto di precessione:** 2 GDL Si assume che i sistemi di riferimento fisso e solidale coincidano al tempo $t=0$, vale a dire $ Q(0)=O, \quad \mathbf{e}_k(0)=\mathbf{i}_k \quad \forall k=1,2,3 . $ #### Moto traslatorio ==Un moto rigido si dice **traslatorio** se ogni retta solidale mantiene orientamento invariabile rispetto all'osservatore fisso.== Questo significa anche che la terna solidale al corpo si mantiene invariabile rispetto alla terna fissa ⇒ $\boldsymbol{\omega}(t) = \mathbf{0} \quad \forall t$ In questa situazione: - Tutti i versori solidali mantengono orientamento fisso - Velocità e accelerazione sono uguali per ogni punto del corpo in ogni istante, per questo motivo si può parlare di velocità e accelerazione del corpo, senza distinguere tra un punto e l'altro - Se la direzione è costante il moto viene chiamato **rettilineo**, poiché le traiettorie dei singoli punti del corpo sono rettilinee #### Moto roto-traslatorio ==Un moto rigido si dice **roto-traslatorio** se esiste un orientamento solidale al corpo che si mantiene costante rispetto all'osservatore fisso.== Il moto è roto-traslatorio se e solo se la direzione di $\omega$ è costante, e in tal caso tale direzione è quella che mantiene invariato il suo orientamento. La matrice di rotazione è fornita da: $\begin{aligned} &\mathbf{R} \equiv\left[\begin{array}{ccc} \cos \theta & -\sin \theta & 0 \\ \sin \theta & \cos \theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right] . \end{aligned}$ ##### Moto elicoidale ==Un moto roto-traslatorio si dice **elicoidale** se esiste una retta, parallela alla direzione privilegiata, i cui punti abbiano velocità parallela alla retta stessa.== Se la velocità di $Q$ è sempre parallela a $\mathbf{i}_3$, le coordinate $x_{Q_1}$ e $x_{Q_2}$ saranno costanti, e quindi basteranno i **due parametri** $\left\{x_{Q 3}, \theta\right\}$ per identificare la configurazione di un corpo rigido durante un moto elicoidale. ##### Moto rotatorio ==Il moto di un corpo rigido è detto rotatorio o di rotazione se esiste una retta solidale con il corpo i cui punti rimangono fissi, cioè hanno velocità nulla. Tale retta è detta **asse di rotazione.**== Il moto rotatorio è un particolare moto elicoidale, in cui rimane **un solo parametro**, rappresentato da $\theta (t)$ per descrivere il moto. La velocità di un punto $P$ è data da $ \mathbf{v}_P=\omega \hat{\boldsymbol{k}} \wedge(P-O) $ dove $\mathbf {\boldsymbol \omega}=\omega \hat{\boldsymbol{k}}$ è la velocità angolare del corpo rigido #### Moto piano Un **moto rigido** si dice piano se esiste un piano $\pi$, solidale con il corpo, che si mantiene sempre parallelo e a distanza costante da un piano fisso $\pi^*$, detto **piano direttore**. ==La traiettoria di un moto piano è evidentemente una **curva piana**.== In tali circostanze, la posizione può essere descritta sia in coordinate cartesiane che in coordinate polari. **Teorema:** L'atto di moto di un corpo rigido che si muove di moto rigido piano è sempre rotatorio o traslatorio Essendo $\boldsymbol{\omega} \parallel$ all'asse ortogonale al piano, definiamo **centro di istantanea rotazione** $C$ l'intersezione tra l'asse di istantanea rotazione ed il piano $\pi$. #### Moto polare Un moto rigido si dice polare se uno dei punti solidali con il corpo rigido rimane fisso. In un moto polare le coordinate di un punto $Q$ del corpo rigido sono costanti. Servono tre parametri, ad esempio gli [[Angoli di Eulero]] $\{\theta, \varphi, \psi\}$ per identificare la configurazione di tutto il corpo rigido. ==In questa situazione l'asse di istantanea rotazione varia nel tempo e non è solidale al corpo.== ##### Moto di precessione Un moto polare si dice di **precessione** se esistono due rette passanti per il punto fisso $Q \equiv O$, una solidale al corpo rigido di versore $\mathbf{e}_3$ (**asse di rotazione propria**) e una fissa di versore $\mathbf{i}_3$ (**asse di precessione**), tale che durante il moto l'angolo $\theta$ fra di loro si mantiene costante. **Teorema:** Un moto polare è una precessione se e solo se esistono un versore fisso $\mathbf{i}_3$ e un versore solidale $\mathbf{e}_3$ tali che $ \color {green} \omega=\lambda \mathbf{e}_3+\mu \mathbf{i}_3 . $ Le componenti $\lambda(t)$ e $\mu(t)$ che caratterizzano $\omega$ in una precessione si dicono rispettivamente **velocità angolare di rotazione propria** e **velocità angolare di precessione.** Inoltre, una precessione si dice regolare quando le due componenti $\lambda(t)$ e $\mu(t)$ sono costanti. **Formulazione alternativa:** I moti di precessione sono particolari **moti polari** per i quali un asse fisso $p$ forma un angolo costante con un asse $r$ solidale. Sono caratterizzati dall'avere la velocità angolare complanare con $p$ e $r$, e quindi scomponibile nella somma $ \vec \omega=\vec\omega_{\mathrm{pre}}+\vec \omega_{\mathrm{rot}}, \quad\left(\omega_{\mathrm{pre}}\left\|p, \omega_{\mathrm{rot}}\right\| r\right), $ dove $\boldsymbol{\omega}_{\text {pre }}$, parallela all'asse fisso $p$, è detta velocità angolare di precessione, mentre $\boldsymbol{\omega}_{\text {rot }}$, parallela all'asse mobile e solidale $r$, è detta velocità angolare di rotazione propria. ![[Pasted image 20260225225329.png]] ##### Domande di teoria **Rispondere alle seguenti domande specifiche:** - [ ] Quali sono tutte le tipologie di moti rigidi e le loro caratteristiche? - [ ] Quando un moto rigido si dice piano? - [ ] Dimostra tutte le caratterizzazioni della tipologia di moto *Consultare le risorse selezionate in fondo alla nota per soluzioni e approfondimenti.* --- > [!info]- Risorse > ![[!Meccanica Razionale#Risorse#Bibliografia]] > ![[!Meccanica Razionale#Risorse#Approfondimenti]]