Nello studio ideale del corpo rigido, il contatto tra un disco e un piano avviene in un singolo punto (o lungo un segmento, nel caso tridimensionale). Tuttavia, per una ruota reale (ad esempio dotata di pneumatico), la deformabilità dei materiali genera un'area di contatto definita *impronta*. Di conseguenza, la reazione vincolare esplicata dal suolo non è riducibile a una singola forza applicata nel punto di contatto geometrico, ma comprende anche una coppia $\mathbf{H}$ che si oppone al rotolamento. Questo fenomeno prende il nome di [[Forza d'attrito#Attrito Volvente|attrito volvente]]. ### Analisi dinamica #### Cinematica ed energia nel puro rotolamento La **cinematica del moto** è governata dal [[Vincoli di mobilità|vincolo di puro rotolamento]], il quale impone che la velocità del punto di contatto $K$ tra il corpo e il suolo sia nulla ($\mathbf{v}_K = \mathbf{0}$). In un moto piano, questo si traduce nella relazione cinematica fondamentale tra la velocità del baricentro $\dot{x}_G$ e la velocità angolare $\dot{\theta}$: $ \dot{x}_G = r \dot{\theta} $ Poiché il punto di applicazione della reazione vincolare è istantaneamente fermo, la potenza esplicata dalla forza d'attrito statico è nulla. Il [[Lavoro e potenza|lavoro]] è compiuto esclusivamente dalle forze attive. L'[[Energia cinetica|energia cinetica]] totale del corpo, calcolabile tramite il [[Teorema di König|teorema di König]], è la somma del contributo traslazionale e rotazionale: $ T = \frac{1}{2}m\dot{x}_G^2 + \frac{1}{2}I_G\dot{\theta}^2 $ #### Disco su piano inclinato Analizziamo il moto di un disco omogeneo di massa $m$ e raggio $r$ su una guida inclinata di un angolo $\alpha$. ![[Pasted image 20260507163430.png]] **Puro rotolamento** Assumendo che il disco rotoli senza strisciare, possiamo derivare l'equazione pura del moto applicando il [[Teorema delle forze vive|teorema dell'energia cinetica]] ($\dot{T} = \Pi^{(\mathrm{a})}$) o le [[Equazioni cardinali della meccanica|equazioni cardinali della dinamica]]. Sostituendo $\dot{\theta} = \dot{x}_G / r$ nell'energia cinetica, si ottiene $T = \frac{3}{4}m\dot{x}_G^2$. Uguagliando la derivata temporale di $T$ alla potenza della forza peso ($\Pi = mg\dot{x}_G \sin\alpha$), si ricava l'accelerazione del baricentro: $ \ddot{x}_G = \frac{2}{3} g \sin \alpha $ Dalla prima equazione cardinale si ricavano le componenti della reazione vincolare: $ \Phi_n = mg \cos \alpha, \quad \Phi_t = -\frac{1}{3} mg \sin \alpha $ Affinché l'ipotesi di puro rotolamento sia fisicamente ammissibile, la componente tangenziale deve rispettare il limite dell'attrito statico ($|\Phi_t| \leq f_s \Phi_n$), il che impone una condizione sul coefficiente di attrito: $ f_s \geq \frac{\tan \alpha}{3} $ **Rotolamento con strisciamento** Se la condizione precedente non è soddisfatta ($f_s < \frac{\tan \alpha}{3}$), il disco striscia. Le variabili $x_G$ e $\theta$ si disaccoppiano e l'attrito diventa dinamico, opponendosi al moto con modulo $|\Phi_t| = f_d \Phi_n = f_d mg \cos \alpha$. Le equazioni del moto diventano: $ \ddot{x}_G = g(\sin \alpha - f_d \cos \alpha), \quad \ddot{\theta} = \frac{2 f_d g \cos \alpha}{r} $ La velocità di strisciamento $u(t) = \dot{x}_G(t) - r\dot{\theta}(t)$ varia nel tempo. Su un piano orizzontale ($\alpha = 0$), se il disco viene lanciato con strisciamento iniziale ($u_0 > 0$), l'attrito dinamico decelera la traslazione e accelera la rotazione fino a un istante $\bar{t} = \frac{u_0}{3f_d g}$ in cui $u(\bar{t}) = 0$. Da quel momento in poi, il disco procede di moto rettilineo uniforme in puro rotolamento. #### La frenata perfetta Consideriamo un veicolo schematizzato come un disco in puro rotolamento su un piano orizzontale, a cui viene applicata una coppia frenante $\mathbf{M}_{\mathrm{f}} = -M_{\mathrm{f}} \mathbf{k}$. Tenendo conto anche dell'attrito volvente $\delta_s = \gamma_s r$, le equazioni cardinali forniscono: $ m\ddot{x}_G = \Phi_t, \quad \Phi_n = mg, \quad \frac{1}{2}mr^2\ddot{\theta} = -M_{\mathrm{f}} - \delta_s \Phi_n $ Imponendo il vincolo cinematico $\ddot{x}_G = r\ddot{\theta}$, si ricava la forza d'attrito necessaria a garantire il puro rotolamento durante la frenata. Affinché la ruota non si blocchi iniziando a strisciare, deve valere $|\Phi_t| \leq f_s \Phi_n$, da cui si deduce il limite massimo per la coppia frenante: $ M_{\mathrm{f}} \leq \left(\frac{3}{2}f_s - \gamma_s\right) mgr $ Applicando esattamente questa coppia massima, si ottiene la massima decelerazione possibile in regime di aderenza ($\ddot{x}_G = -f_s g$). Il tempo di arresto risulta $T_1 = \frac{V}{f_s g}$ dove $V$ è la velocità iniziale. Se si applica una coppia maggiore, la ruota si blocca e striscia; l'attrito passa al regime dinamico ($f_d < f_s$), riducendo la decelerazione a $-f_d g$ e aumentando il tempo di arresto a $T_2 = \frac{V}{f_d g} > T_1$ ==Questo principio è alla base del funzionamento dei sistemi ABS.== ### Esempi ed esercizi ##### Esercizi - [ ] Esempi ed esercizi | Lezione 45-48 Turzi - [ ] Esempio: Caso del gommista | Biscari - [ ] Esempi fondamentali statici e dinamici | Biscari - [ ] Analisi moto rotatorio: cerniera cilindrica, snodo sferico | Biscari ### Collegamenti --- *Per risposte, ulteriori esercizi e approfondimenti consultare le risorse di riferimento.* > [!info]- Risorse > ![[!Meccanica Razionale#Risorse#Bibliografia]] > ![[!Meccanica Razionale#Risorse#Approfondimenti]]