==Il moto di un punto si dice **piano** quando l'intera [[Descrizione del moto|traiettoria]] è una **curva piana.==** Fissato un **asse polare**, che per semplicità prendiamo coincidente con l'asse delle ascisse e diretto come il versore $\mathbf{i}$, introduciamo le coordinate $r$ e $\theta$, tali che $O P= r \cos \theta \mathbf{i}+r \sin \theta \mathbf{j}, \operatorname{con} r=|O P| \geq 0 \quad \land \quad \tan \theta=y_{P} / x_{P} $ Il moto del punto può quindi essere assegnato per mezzo delle funzioni $r(t)$ e $\theta(t)$ chiamate **coordinate polari** ($r, \theta$). #### Velocità e accelerazione in coordinate polari --- In coordinate polari si utilizzano i **versori** $\mathbf{e}_{r}$ e $\mathbf{e}_{\theta}$, definiti come $\color {orange} \begin{equation*} \mathbf{e}_{r}=\cos \theta \mathbf{i}+\sin \theta \mathbf{j}, \quad \mathbf{e}_{\theta}=-\sin \theta \mathbf{i}+\cos \theta \mathbf{j} \end{equation*} $ - Il versore $\mathbf{e}_{r}$ indica la **direzione cosiddetta radiale**, poiché orientato dall' origine verso la posizione del punto $P(t)$ - Il versore $\mathbf{e}_{\theta}$ corrisponde alla **direzione trasversa**, ottenuta dalla precedente per mezzo di una rotazione pari a $\pi / 2$ in senso antiorario, che si ottiene matematicamente derivando il primo rispetto a theta $\theta$ ![[Pasted image 20251016114744.png]] Attraverso i versori di direzione radiale e trasversa possiamo riscrivere il vettore posizione $ \mathbf{OP}= r(cos \theta \mathbf i +sin \theta\mathbf j)=r\mathbf e_r $ Ricordando che [[Velocità]] e [[Accelerazione]] sono rispettivamente la [[Derivata]] prima e seconda del vettore posizione, e utilizzando attentamente la [[Regole di derivazione|regola di derivazione del prodotto]] si ottengono le **equazioni di velocità e accelerazione in coordinate polari.** $ \color {green} \begin{cases} \mathbf{v}=\dot{r} \mathbf{e}_{r}+r \dot{\theta} \mathbf{e}_{\theta} \\ \mathbf{a}=\left(\ddot{r}-r \dot{\theta}^{2}\right) \mathbf{e}_{r}+(2 \dot{r} \dot{\theta}+r \ddot{\theta}) \mathbf{e}_{\theta} \end{cases} $ *Per arrivare al risultato si è fatto uso delle relazioni* $\dot{\mathbf{e}}_{r}=(-\sin \theta \mathbf{i}+\cos \theta \mathbf{j}) \dot{\theta}=\dot{\theta} \mathbf{e}_{\theta}$ $\dot{\mathbf{e}}_{\theta}=-\dot{\theta} \mathbf{e}_{r}$ #### Componenti radiale e trasversa di velocità e accelerazione --- È comodo e naturale indicare le componenti di velocità e accelerazione di un punto in moto piano secondo i versori radiale e trasverso con gli indici $r$ e $\theta$, rispettivamente. Quindi i risultati ottenuti qui sopra possono essere riassunti dalle formule $ \color {green} \begin {cases} v_{r}=\dot{r}, \quad v_{\theta}=r \dot{\theta} \\ a_{r}=\ddot{r}-r \dot{\theta}^{2}, \quad a_{\theta}=2 \dot{r} \dot{\theta}+r \ddot{\theta} \end {cases} $ dove abbiamo: * **componenti radiali** di velocità e accelerazione * $v_r = \dot{r}$ (velocità radiale) * $a_r = \ddot{r}-r \dot{\theta}^{2}$ (accelerazione radiale) * **Componenti trasverse** di velocità e accelerazione * $v_{\theta} = r \dot{\theta}$ (velocità trasversa) * $a_{\theta} = 2 \dot{r} \dot{\theta}+r \ddot{\theta}$ (accelerazione trasversa) Inoltre nei moti piani è utile la [[Velocità areolare]] che misura l'area spazzata dal raggio vettore durante il moto. ##### Domande di teoria **Rispondere alle seguenti domande specifiche:** - [ ] Ricavare le equazioni di velocità e accelerazione in coordinate polari - [ ] Che cosa è la velocità areolare? *Consultare le risorse selezionate in fondo alla nota per soluzioni e approfondimenti.* ### Collegamenti --- > [!info]- Risorse > ![[!Meccanica Razionale#Risorse#Bibliografia]] > ![[!Meccanica Razionale#Risorse#Approfondimenti]]