Il moto di un punto materiale vincolato a una curva fissa è descritto da un unico grado di libertà tramite l'[[ascissa curvilinea]]. L'analisi dinamica si basa sulla proiezione delle equazioni del moto lungo la [[terna intrinseca]]. ### Cinematica e proiezioni intrinseche Consideriamo un punto materiale $P$ vincolato a una [[Curve|curva]] $\gamma$. La posizione del punto è univocamente determinata dall'[[ascissa curvilinea]] $s(t)$. La velocità $\mathbf{v}$ e l'accelerazione $\mathbf{a}$ del punto sono espresse in funzione della terna intrinseca $\{\mathbf{t}, \mathbf{n}, \mathbf{b}\}$ come: $\mathbf{v} = \dot{s} \mathbf{t}$ $\mathbf{a} = \ddot{s} \mathbf{t} + \frac{\dot{s}^2}{\rho} \mathbf{n}$ dove $\rho$ rappresenta il **raggio di curvatura** della traiettoria. Proiettando l'equazione fondamentale della dinamica $m \mathbf{a} = \mathbf{F} + \boldsymbol{\Phi}$ lungo i versori della terna, otteniamo il sistema: $ \begin{cases} m \ddot{s} = F_t + \Phi_t \\ m \frac{\dot{s}^2}{\rho} = F_n + \Phi_n \\ 0 = F_b + \Phi_b \end{cases} $ In questo contesto, $F_t, F_n, F_b$ sono le componenti della forza attiva, mentre $\Phi_t, \Phi_n, \Phi_b$ sono le componenti della reazione vincolare. ![[Pasted image 20260506115740.png]] ==Le **posizioni di equilibrio** di un punto vincolato a scorrere su una guida liscia sono tutte e sole le posizioni in cui si annulla la componente tangenziale della forza attiva.== #### Guida liscia In una guida liscia (vincolo ideale), la reazione vincolare è puramente normale alla traiettoria, implicando $\Phi_t = 0$. L'equazione del moto lungo la tangente diventa un'equazione pura: $m \ddot{s} = F_t(s, \dot{s}, t)$ Se la componente tangenziale della forza attiva dipende solo dalla posizione $F_t(s)$, è possibile ricavare un integrale primo del moto. Moltiplicando l'equazione per $\dot{s}$ e integrando, si ottiene: $\frac{1}{2} m \dot{s}^2 - U(s) = E$ dove $U(s) = \int F_t(s) ds$ funge da potenziale efficace. Le posizioni di equilibrio corrispondono ai punti stazionari di $U(s)$, ovvero dove $F_t(s) = 0$. #### Guida scabra In presenza di attrito, la componente tangenziale $\Phi_t$ non è nulla e si oppone al moto. Seguendo la [[Legge di Coulomb-Morin]], il modulo della forza d'attrito dinamico è proporzionale alla reazione normale totale: $\left|\Phi_{t}\right|=f_{d} \sqrt{\Phi_{n}^{2}+\Phi_{b}^{2}}$ Nel caso dinamico, la componente di attrito deve principalmente ostacolare il moto del punto vincolato. Di conseguenza, la direzione $\boldsymbol{\Phi}_{t}$ è sempre opposta a quella della velocità del punto vincolato: $\boldsymbol{\Phi}_{t} \| \mathbf{v}$ e $\boldsymbol{\Phi}_{t} \cdot \mathbf{v} \leq 0$. Supposto $\dot{s} \neq 0$, possiamo quindi scrivere $\Phi_t = -f_d \sqrt{\Phi_n^2 + \Phi_b^2} \frac{\dot{s}}{|\dot{s}|}$ Sostituendo le espressioni per $\Phi_n$ e $\Phi_b$ ricavate dalle proiezioni intrinseche in componenti normale e binormale, l'equazione del moto diventa: $\color {green} m \ddot{s} = F_t - f_d \sqrt{\left( m \frac{\dot{s}^2}{\rho} - F_n \right)^2 + F_b^2} \frac{\dot{s}}{|\dot{s}|}$ Questa equazione mostra come, in presenza di attrito, la dinamica lungo la tangente sia accoppiata alle componenti normali della forza e all'effetto centrifugo $m \dot{s}^2/\rho$. Se la guida è rettilinea, il raggio di curvatura diverge ( $\rho=+\infty$ ) e l'equazione si semplifica in $\Phi_{n}=-F_{n}$. Se poi ci restringiamo a un tratto della traiettoria lungo il quale $\dot{s}$ abbia segno costante, e consideriamo solo forze attive posizionali, possiamo scrivere $\color {green} m \ddot{s}=F_{t}(s)-f_{d} \sqrt{ F_{n}^{2}(s)+F_{b}^{2}(s)}=\phi(s) $ Ne consegue un integrale primo simile a quello per la guida liscia, con un "potenziale" $U$ ottenuto come primitiva di $\phi$, invece che della sola $F_{t}$. ### Esempi ed esercizi Immagina un anellino infilato in un filo di ferro sagomato (la nostra curva $\gamma$). - Se il filo è perfettamente oliato (**guida liscia**), l'anellino si muove solo in base a come lo spingi lungo il filo o alla gravità. Se lo lasci andare, oscillerà trasformando energia potenziale in cinetica senza perdite. - Se il filo è arrugginito (**guida scabra**), ogni volta che l'anellino si muove, la ruggine "morde" la superficie. Più l'anellino preme contro il filo (perché è pesante o perché sta andando veloce in curva — effetto centrifugo), più la ruggine farà resistenza. Questa resistenza (attrito) ruba energia al movimento, trasformandola in calore, finché l'anellino non si ferma. ##### Domande di teoria - [ ] Perché l'accelerazione normale non compare nell'equazione pura del moto di una guida liscia? - [ ] Spiegare la differenza tra la direzione della reazione vincolare in una guida liscia rispetto a una scabra. - [ ] Come influisce il raggio di curvatura $\rho$ sulla forza d'attrito in una guida scabra? --- > [!info]- Risorse > ![[!Meccanica Razionale#Risorse#Bibliografia]] > ![[!Meccanica Razionale#Risorse#Approfondimenti]]