La ricerca degli [[Assi e momenti principali d'inerzia|assi principali di inerzia]] consiste nell'individuare la terna di riferimento che diagonalizza il [[Tensore d'inerzia|tensore d'inerzia]], annullando i [[Momenti di inerzia rispetto ad assi concorrenti|prodotti d'inerzia]] e identificando le direzioni di massima e minima resistenza alla rotazione. ### Sistemi tridimensionali La determinazione degli assi principali può avvenire tramite la [[Autovalori e autovettori|diagonalizzazione]] della [[Matrici|matrice]] d'inerzia, ma l'utilizzo delle simmetrie materiali semplifica notevolmente il problema: - **Esistenza e Unicità**: Ogni sistema possiede almeno una terna principale rispetto a qualunque punto $O$. Se i momenti principali sono distinti, la terna è unica; se due coincidono, ogni asse nel piano da essi formato è principale. - **Piani di Simmetria**: Se un sistema ammette un piano di simmetria materiale $\pi$, l'asse ortogonale a tale piano passante per un punto $O \in \pi$ è sempre un asse principale d'inerzia. - **Intersezione di Piani**: L'asse derivante dall'intersezione di due piani di simmetria materiale è un asse principale. Se i piani non sono ortogonali, tale asse è anche un asse giroscopico. - **Traslazione degli Assi**: Un asse principale passante per il [[Centro di massa|baricentro]] (asse principale centrale) rimane principale per ogni altro punto appartenente all'asse stesso. ### Analisi dei Sistemi Piani Per i corpi contenuti in un piano (es. piano $xy$), l'asse $z$ ortogonale al piano è sempre principale. Dato che $z=0$ per tutti i punti, si ha che $ I_{x}=\int_{\mathscr{B}} \varrho y^{2} d \tau \quad \text { e } \quad I_{y}=\int_{\mathscr{B}} \varrho x^{2} d \tau . $ Essendo inoltre $I_{z}=\int_{\mathscr{B}} \varrho\left(x^{2}+y^{2}\right) d \tau$, si ricava una proprietà fondamentale dei sistemi piani per cui il momento d'inerzia rispetto all'asse ortogonale è pari alla somma dei momenti rispetto ai due assi contenuti nel piano: $ \color {green} \begin{equation*} I_{z}=I_{x}+I_{y} \end{equation*} $ La determinazione dei due assi principali contenuti nel piano del sistema è facilitata dalla simmetria. Per trovare gli assi principali ($x_1, x_2$) si effettua una rotazione di un angolo $\theta$ rispetto agli assi iniziali ($x, y$). L'angolo che annulla il prodotto d'inerzia $I_{xy}$ si ricava dalla relazione: $\tan 2\theta = \frac{2I_{xy}}{I_x - I_y}$ I corrispondenti momenti principali d'inerzia sono calcolati come: $\color {green} I_{1,2} = \frac{1}{2} \left( I_x + I_y \pm \sqrt{(I_x - I_y)^2 + 4I_{xy}^2} \right)$ #### Esempi ##### Cono Circolare Omogeneo (3D) Per un cono di raggio $R$ e altezza $h$, l'asse di simmetria $z$ è principale. Utilizzando il [[!Analisi|calcolo integrale]] in [[!Geometria|coordinate polari]] e il [[Teorema di Huygens-Steiner|teorema di Huygens-Steiner]], si ottengono i momenti centrali: - $I_z = \frac{3}{10} m R^2$ - $I_x = I_y = \frac{3m}{80} (4R^2 + h^2)$ ![[Pasted image 20260506115417.png|300]] ##### Lamina triangolare Determiniamo la terna principale d'inerzia e i relativi momenti principali rispetto all'origine $O$ della lamina a forma di triangolo rettangolo: ![[Pasted image 20260312112557.png]] Per integrazione è possibile ottenere i momenti e prodotti di inerzia $ I_{x}=\frac{1}{6} m b^{2}, \quad I_{y}=\frac{1}{6} m a^{2}, \quad I_{x y}=\frac{1}{12} m a b, $ ed essendo la lamina un sistema piano si deve avere $ I_{z}=\frac{1}{6} m\left(a^{2}+b^{2}\right), \quad I_{x z}=I_{y z}=0 . $ Applicando le formule per la determinazione degli assi principali si ottiene subito $ \begin{aligned} & I_{1}=\frac{m}{12}\left\{a^{2}+b^{2}-\sqrt{ } b^{4}-a^{2} b^{2}+a^{4}\right\}, \\ & I_{2}=\frac{m}{12}\left\{a^{2}+b^{2}+\sqrt{ } b^{4}-a^{2} b^{2}+a^{4}\right\}, \end{aligned} $ mentre, ovviamente, $I_{3}=I_{z}$. Inoltre da $ 2 \theta=\arctan \left(\frac{a b}{b^{2}-a^{2}}\right) $ si ottiene anche la direzione degli assi principali. ##### Proprietà di Sottrazione Per sistemi complessi con lacune (fori), il momento d'inerzia si calcola sottraendo il contributo della parte mancante, trattata come una "massa negativa". Ad esempio, per una lamina quadrata forata: $I_{totale} = I_{piena} - I_{lacuna}$ È fondamentale riportare entrambi i momenti allo stesso asse tramite [[Teorema di Huygens-Steiner|Huygens-Steiner]] prima di effettuare la sottrazione. ##### Domande di teoria **Rispondere alle seguenti domande specifiche:** - [ ] Come si trovano gli assi principali di inerzia in sistemi tridimensionali e in sistemi piani? - [ ] Cosa afferma il Teorema di Huygens Steiner per prodotti di inerzia? *Consultare le risorse consigliate in fondo alla nota per soluzioni e approfondimenti.* ##### Esempi ed esercizi **Risolvere i seguenti esempi ed esercizi:** - [ ] Esempi di calcolo | Biscari - [ ] Cono a base circolare - [ ] Rettangolo omogeneo - [ ] Lamina triangolare - [ ] Proprietà di sottrazione - [ ] Esempi ed esercizi lezione 42 | Turzi - [ ] Esercizi di cinematica delle masse | Battaia *Consultare le risorse consigliate in fondo alla nota per soluzioni e approfondimenti.* --- > [!info]- Risorse > ![[!Meccanica Razionale#Risorse#Bibliografia]] > ![[!Meccanica Razionale#Risorse#Approfondimenti]]