Un [[Sistema di vettori applicati|sistema di forze]] è un insieme finito di vettori applicati che descrivono le azioni meccaniche su un corpo. Esso è univocamente caratterizzato da due grandezze vettoriali, il **risultante e il momento risultante**, che ne definiscono l'equivalenza e la riduzione. ### Vettori caratteristici e legge di variazione del momento Un sistema $\mathcal{S}$ è composto da $n$ forze $\mathbf{f}_i$ applicate nei punti $P_i$. I parametri fondamentali che descrivono il sistema sono: - **Risultante ($\mathbf{R}$)**: La somma vettoriale di tutte le forze del sistema, indipendente dal polo scelto. $\color {orange} \mathbf{R} = \sum_{i=1}^{n} \mathbf{f}_i$ - **Momento risultante ($\mathbf{M}_O$)**: La somma dei momenti delle singole forze rispetto a un polo $O$. $\color {orange} \mathbf{M}_O = \sum_{i=1}^{n} (P_i - O) \wedge \mathbf{f}_i$ #### Legge del cambiamento di polo Il [[Momento di un vettore|momento risultante]] dipende dalla scelta del polo $O$. Se si sposta il polo in un punto $Q$, il nuovo momento $\mathbf{M}_Q$ è legato a $\mathbf{M}_O$ dalla relazione: $\color {green} \mathbf{M}_Q = \mathbf{M}_O + (O - Q) \wedge \mathbf{R}$ Questa formula evidenzia che se $\mathbf{R} = \mathbf{0}$, il momento è un vettore invariante (indipendente dal polo). Se $\mathbf{R} \neq \mathbf{0}$, il momento è costante lungo ogni retta parallela al risultante. #### Invariante scalare L'**invariante scalare** $I$ è definito come il [[Prodotto scalare|prodotto scalare]] tra il risultante e il momento risultante: $\color {orange} I = \mathbf{R} \cdot \mathbf{M}_O$ Utilizzando la legge del cambiamento di polo e le proprietà del [[Prodotto misto|prodotto misto]], si dimostra che $I$ non dipende dal polo $O$. Fisicamente, $I$ rappresenta la **proiezione del momento lungo la direzione del risultante, moltiplicata per il modulo di quest'ultimo.** #### Asse centrale Per ogni sistema con $\mathbf{R} \neq \mathbf{0}$, esiste una retta speciale chiamata [[Asse centrale|asse centrale]]. Essa è il luogo geometrico dei punti rispetto ai quali il momento risultante è parallelo al risultante (o nullo). L'equazione parametrica dell'asse centrale è: $\color {green} \mathbf{P}(\lambda) = \frac{\mathbf{R} \wedge \mathbf{M}_O}{R^2} + \lambda \mathbf{R}$ ==Sull'asse centrale, il momento ha modulo minimo. == Se $I = 0$, il momento sull'asse è nullo e la retta prende il nome di **retta di applicazione del risultante**. ### Riduzione e sistemi particolari di forze Due sistemi sono definiti [[Vettori applicati equivalenti|equivalenti]] se possiedono lo stesso risultante e lo stesso momento risultante rispetto a un medesimo polo. Il **teorema di riduzione** stabilisce che ogni sistema può essere ricondotto a forme minimali: | Condizione | Riduzione del sistema | | :------------------------------------------------------ | :-------------------------------------------------------------------------------------- | | $\mathbf{R} = \mathbf{0}, \mathbf{M}_O = \mathbf{0}$ | Sistema equilibrato, equivalente al sistema nullo | | $\mathbf{R} = \mathbf{0}, \mathbf{M}_O \neq \mathbf{0}$ | Equivalente a una [[Coppia\|coppia]] di forze | | $\mathbf{R} \neq \mathbf{0}, I = 0$ | Equivalente a un'unica forza $\mathbf{R}$ applicata sulla retta di applicazione. | | $\mathbf{R} \neq \mathbf{0}, I \neq 0$ | Equivalente a una forza $\mathbf{R}$ e una coppia con momento parallelo a $\mathbf{R}$. | #### Sistemi di forze parallele In un sistema di forze parallele ($\mathbf{f}_i = f_i \mathbf{k}$), l'invariante scalare è sempre nullo. Se $\mathbf{R} \neq \mathbf{0}$, esiste un punto $\bar{P}$ detto **centro di forze parallele**, la cui posizione è indipendente dall'orientazione comune $\mathbf{k}$: $ \begin{equation*} O \bar{P}=\frac{1}{R}\left(\sum_{i=1}^{n} f_{i} O P_{i}\right) . \end{equation*} $ Questo concetto è alla base della definizione di [[Centro di massa|baricentro]] quando le forze in gioco sono le forze peso. ![[Pasted image 20260508154204.png]] ### Esempi ed esercizi Immagina di dover svitare un bullone di una ruota con una chiave a croce. Se spingi con una mano verso l'alto e con l'altra verso il basso con la stessa forza $f$, stai applicando una **coppia**. Il risultante è zero (non sposti l'auto), ma il momento è massimo e fa ruotare il bullone. Se invece spingessi solo da un lato, il bullone sentirebbe sia una rotazione che una forza laterale (risultante non nullo), rischiando di piegare il perno. La coppia è il modo più "puro" per generare rotazione senza traslazione. ##### Domande di teoria **Rispondere alle seguenti domande specifiche:** - [ ] Dimostrare, tramite la legge di variazione del polo, perché l'invariante scalare è indipendente dalla scelta del polo $O$. - [ ] Qual è il significato geometrico del termine $\frac{\mathbf{R} \wedge \mathbf{M}_O}{R^2}$ nell'equazione dell'asse centrale? - [ ] In quali condizioni un sistema di forze parallele non ammette un centro di forze parallele? *Consultare le risorse consigliate in fondo alla nota per soluzioni e approfondimenti.* ##### Esempi ed esercizi **Risolvere i seguenti esempi ed esercizi:** - [ ] Dato un sistema di due forze $\mathbf{f}_1 = (1, 0, 0)$ applicata in $P_1(0, 1, 0)$ e $\mathbf{f}_2 = (0, 1, 0)$ applicata in $P_2(1, 0, 0)$, calcolare il risultante, il momento rispetto all'origine e l'equazione dell'asse centrale. - [ ] Verificare se il sistema precedente è riducibile a un'unica forza - [ ] Esempi ed esercizi | Lezione 33 | Turzi *Consultare le risorse consigliate in fondo alla nota per soluzioni e approfondimenti.* ### Collegamenti --- > [!info]- Risorse > ![[!Meccanica Razionale#Risorse#Bibliografia]] > ![[!Meccanica Razionale#Risorse#Approfondimenti]]