==Un sistema materiale si definisce **vincolato** quando i punti che lo compongono sono soggetti a restrizioni cinematiche, dette **[[Vincoli]]**, che ne limitano le possibili posizioni o velocità nello spazio.== ### Rappresentazione matematica e configurazione In un sistema di $N$ punti materiali, la posizione è individuata dai [[Vettori|vettori]] posizione $\mathbf{r}_i$. La presenza di [[Vincoli]] impone che tali vettori soddisfino relazioni analitiche espresse generalmente come disuguaglianze: $f(\mathbf{r}_1, \ldots, \mathbf{r}_N; \mathbf{v}_1, \ldots, \mathbf{v}_N; t) \geq 0$ Si distinguono due concetti fondamentali: - **Configurazione:** l'insieme delle posizioni $\{\mathbf{r}_i\}$ del sistema a un istante $t$. - **[[Atto di moto rigido|Atto di moto]]:** l'insieme delle posizioni e delle velocità $\{\mathbf{r}_i, \mathbf{v}_i\}$ a un istante $t$. L'introduzione dei vincoli riduce il numero di parametri necessari a descrivere il sistema, si introducono quindi le **[[Coordinate libere e gradi di libertà|coordinate libere]]**, ovvero i parametri essenziali e indipendenti che individuano univocamente la posizione del sistema. Il numero $N$ di queste coordinate indipendenti corrisponde al numero di **[[Coordinate libere e gradi di libertà|gradi di libertà]]** del sistema *(G.D.L)*. ### Classificazione dei vincoli I vincoli vengono classificati in base alle proprietà della funzione $f(\mathbf{r}_i, \mathbf{v}_i, t)$ che li descrive: | Tipologia | Relazione Matematica | Caratteristiche | Esempio | | ---------------------------------------------------- | -------------------------------------- | ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- | -------------------------------------------------------- | | **Bilatero** | $f = 0$ | *Sono espressi da uguaglianze. Ogni spostamento virtuale è reversibile* | Anellino infilato in una guida | | **Unilatero** | $f \geq 0$ | *Sono espressi da disuguaglianze. Limitano il moto in una direzione ma non nell'altra, rendendo alcuni spostamenti virtuali irreversibili.* | Punto appoggiato | | **Fisso (Scleronomo)** | $\partial f / \partial t = 0$ | *La relazione non dipende esplicitamente dal tempo.* | | | **Mobile (Reonomo)** | $\partial f / \partial t \neq 0$ | *Il vincolo cambia configurazione nel tempo. L'insieme delle configurazioni possibili dipende esplicitamente dal tempo.* | Guida rotante | | **Olonomo (di posizione)** | $f(\mathbf{r}_i, t) = 0$ | *Dipende solo dalle posizioni e non dalle loro velocità. È quindi una restrizione sull'insieme delle configurazioni possibili del sistema* | Punto vincolato a muoversi su una guida o una superficie | | **Anolonomo ([[Vincoli di mobilità\|di mobilità]])** | $f(\mathbf{r}_i, \mathbf{v}_i, t) = 0$ | *Coinvolge le velocità in modo non integrabile (cioè non possono essere ricondotti a relazioni tra le sole coordinate).* | [[Vincoli di mobilità\|Moto di puro rotolamento]] | Il caso più comuni di vincolo è quello dei **vincoli bilateri, fissi e olonomi.** In questo caso il vincolo è tradotto da relazioni del tipo $ f\left(\mathbf{r}_1, \mathbf{r}_2, \ldots, \mathbf{r}_N\right)=0 $ ==Un sistema soggetto solo a vincoli olonomi è detto _sistema olonomo_.== Le configurazioni a partire dalle quali sono possibili solo spostamenti (atti di moto) virtuali reversibili si dicono **ordinarie.** ### Spostamenti e velocità virtuali Per analizzare l'equilibrio e la dinamica dei sistemi vincolati, si introduce il concetto di **spostamento virtuale** ($\delta P$). Uno spostamento virtuale è un cambiamento infinitesimo di configurazione puramente ideale, che rispetta i vincoli nell'istante $t$ considerato (immaginando il tempo "congelato"). Per un sistema descritto da coordinate libere $q_k$, lo spostamento virtuale di un punto $P$ è: $\delta P = \sum_{k=1}^{n} \frac{\partial P}{\partial q_k} \delta q_k$ Analogamente, le **[[Spostamenti e velocità virtuali|velocità virtuali]]** $\mathbf{v}'$ sono vettori compatibili con i vincoli istantanei. In un vincolo mobile, la velocità effettiva $\mathbf{v}$ differisce da quella virtuale $\mathbf{v}'$ a causa del termine di trascinamento temporale $\partial P / \partial t$. ### Analisi di sistemi vincolati notevoli #### 1. Punto su guida circolare fissa Si consideri un punto $P$ vincolato a muoversi su una circonferenza di raggio $R$ e centro $O$. ![[Pasted image 20260305165404.png]] Le tre coordinate cartesiane sono ridotte a una sola coordinata libera, l'angolo $\theta$, tramite le relazioni $ z=0, \quad x^2+y^2=R^2 . $ Utilizzando le [[Coordinate polari|coordinate polari]], la posizione, la velocità e l'accelerazione sono espresse in funzione di $\theta$ e delle sue derivate temporali, definendo un sistema con 1 G.D.L. $ \begin{aligned} & O P(t)=R \cos \theta(t) \mathbf{i}+R \sin \theta(t) \mathbf{j} \\ & \mathbf{v}_P(t)=-R \dot{\theta} \sin \theta \mathbf{i}+R \dot{\theta} \cos \theta \mathbf{j} \\ & \mathbf{a}_P(t)=\left(-R \ddot{\theta} \sin \theta-R \dot{\theta}^2 \cos \theta\right) \mathbf{i}+\left(R \ddot{\theta} \cos \theta-R \dot{\theta}^2 \sin \theta\right) \mathbf{j} . \end{aligned} $ Indicando $\operatorname{con} \mathbf{t}=-\sin \theta \mathbf{i}+\cos \theta \mathbf{j}$ e $\operatorname{con} \mathbf{n}=-\cos \theta \mathbf{i}-\sin \theta \mathbf{j}$ il versore [[Terna intrinseca|tangente e la normale principale]] della circonferenza dalle formule si ottiene $\color {green} \mathbf{v}=R \dot{\theta} \mathbf{t}, \quad \mathbf{a}=R \ddot{\theta} \mathbf{t}+R \dot{\theta}^2 \mathbf{n} . $ #### 2. Asta con carrello Una restrizione cinematica particolarmente utile viene indicata con il termine di **carrello.** In questo sistema vincolato un'asta rigida $AB$ ha l'estremo $A$ vincolato a scorrere su una guida fissa (carrello). ![[Pasted image 20260305165617.png]] Questo vincolo di posizione ($y_A=0$) riduce i parametri del corpo rigido piano da tre a due: - l'ascissa $s$ del punto $A$ - l'angolo di rotazione $\theta$. $OA(s, \theta)=s \mathbf{i}, \quad OG(s, \theta)=\left(s+\frac{l}{2} \cos \theta\right) \mathbf{i}+\frac{l}{2} \sin \theta \mathbf{j}$ Il sistema possiede 2 G.D.L. e permette di introdurre il concetto di [[Spostamenti e velocità virtuali|spostamento virtuale]] come variazione infinitesima delle coordinate $s$ e $\theta$. #### 3. Sistema biella-manovella ==Questo sistema trasforma il moto rotatorio in rettilineo, e viceversa.== Il sistema è composto da due aste ($HK$ di lunghezza $2l$ e $AB$ di lunghezza $l$) vincolate da **cerniere** e un carrello. ![[Pasted image 20260305165957.png]] La configurazione, inizialmente descritta da 6 parametri, viene ridotta a un solo grado di libertà tramite le 5 equazioni di vincolo: $ x_H=y_H=0, \quad x_K=x_A, \quad y_K=y_A, \quad y_B=0 . $ La posizione del punto $B$ è funzione degli angoli $\theta$ (manovella) e $\phi$ (biella): $\color {green}x_B = 2l\cos\theta + l\cos\phi$ dove i due angoli sono legati dalla restrizione imposta dal carrello: $2 \sin \theta - \sin \phi = 0$ È proprio quest'ultima relazione quella che ci permette di ricavare $\phi=\tilde{\phi}(\theta)$ oppure $\theta=\tilde{\theta}(\phi)$, se avremo scelto $\theta$ oppure $\phi$ come coordinata libera. L'angolo $\phi$ è la **coordinata libera più indicata**, poiché $\theta$ presenta una singolarità matematica (mancanza di differenziabilità) per $\theta = \pi/6$, dove il [[Teorema di Dini|Teorema del Dini]] non è applicabile. Questo significa che tramite l'angolo $\phi$ è possibile descrivere univocamente la posizione di ogni punto. ==Il sistema ha quindi un unico grado di libertà.== #### 4. Punto vincolato su guida mobile Si consideri un punto $P$ su un'asta che ruota con velocità angolare $\omega$ costante. ![[Pasted image 20260305170302.png]] Questo è un esempio di vincolo reonomo (mobile) dove la posizione dipende sia dalla coordinata libera $s$ che dal tempo $t$. È fondamentale per distinguere la velocità effettiva $\mathbf{v}_P$ dalla velocità virtuale $\mathbf{v}'_P$: quest'ultima, calcolata a tempo "congelato", non include il termine di trascinamento $\partial P / \partial t$. La posizione è data da: $OP(s, t) = s \cos(\omega t) \mathbf{i} + s \sin(\omega t) \mathbf{j}$ In questo caso, la velocità effettiva include la componente di trascinamento: $ \mathbf{v}_P =\frac{d P}{d t}=\frac{\partial P}{\partial s} \dot{s}+\frac{\partial P}{\partial t} =(\dot{s} \cos (\omega t)-s \omega \sin (\omega t)) \mathbf{i}+(\dot{s} \sin (\omega t)+s \omega \cos (\omega t)) \mathbf{j} $ mentre la velocità virtuale $\mathbf{v}'_P$ possiede solo la componente lungo la guida $ \mathbf{v}_P^{\prime}=\frac{\partial P}{\partial s} v_s . $ evidenziando come nei vincoli mobili il moto effettivo non sia necessariamente un moto virtuale possibile. ##### Domande di teoria **Rispondere alle seguenti domande specifiche:** - [ ] Cosa significa che un sistema è vincolato? Cosa sono i vincoli? - [ ] Come vengono classificati i vincoli? Descrivi le proprietà di ogni tipologia di vincolo - [ ] Quale è la differenza tra vincolo unilatero e bilatero? - [ ] Cosa significa che uno spostamento è reversibile? - [ ] Quanti gradi di libertà ha un corpo rigido? - [ ] Cosa è un carrello? - [ ] Disegna il simbolo dei principali vincoli, descrivendone le caratteristiche *Consultare le risorse consigliate in fondo alla nota per soluzioni e approfondimenti.* ##### Esempi ed esercizi **Risolvere i seguenti esempi ed esercizi:** - [ ] Illustra gli esempi di sistemi vincolati e ricavane le relazioni principali - punto su una guida circolare fissa - asta con estremo vincolato su guida fissa - due aste vincolate in un sistema biella-manovella - punto vincolato su guida mobile - [ ] Esempi di problemi cinematici | 4.12 Biscari - [ ] Esercizi Lezione 15-18 + 21-22 | Turzi - [ ] Esercizi di Cinematica | Battaia *Consultare le risorse consigliate in fondo alla nota per soluzioni e approfondimenti.* --- > [!info]- Risorse > ![[!Meccanica Razionale#Risorse#Bibliografia]] > ![[!Meccanica Razionale#Risorse#Approfondimenti]]