Lo studio della [[Stabilità di sistemi|stabilità di sistemi]] olonomi conservativi permette di caratterizzare il comportamento dinamico locale vicino alle configurazioni di equilibrio. Attraverso la **linearizzazione delle equazioni di moto**, è possibile determinare la stabilità e calcolare i modi normali di oscillazione del sistema. ```mermaid graph LR A[Stabilità] --> B[Un grado di libertà] A --> C[N gradi di libertà] B --> D[Derivate potenziale] C --> E[Linearizzazione] E --> F[Modi normali] classDef main fill:#f9f,stroke:#333,stroke-width:2px; classDef sub fill:#bbf,stroke:#333,stroke-width:1px; class A main; class B,C,D,E,F sub; ``` ### Stabilità nei sistemi a un grado di libertà Consideriamo un [[Sistemi vincolati|sistema vincolato]] olonomo, a vincoli fissi e con un singolo [[Coordinate libere e gradi di libertà|grado di libertà]], sottoposto a una **sollecitazione attiva conservativa.** Sia $q$ la coordinata libera del sistema. Le configurazioni di equilibrio $q^\circ$ corrispondono ai punti stazionari del potenziale $U(q)$: $ U'(q^\circ) = 0 $ Per studiare i moti vicino a $q^\circ$, si introduce il cambio di variabile: $ q(t) = q^\circ + \varepsilon \eta(t) $ dove $\varepsilon$ è un parametro piccolo. #### Equazione di moto linearizzata L'[[Energia cinetica|energia cinetica]] del sistema si scrive come: $ T(q, \dot{q}) = \frac{1}{2} a(q) \dot{q}^2 $ La Lagrangiana è $\mathscr{L} = T + U$. Effettuando il cambio di variabile nell'[[Equazioni di Lagrange|equazione di Lagrange]] e trascurando i termini di ordine superiore a $\varepsilon$ ([[Sviluppo in serie di Taylor|linearizzazione]] all' $O(\varepsilon)$), si ottiene: $ \ddot{\eta}(t) - \frac{U''(q^\circ)}{a(q^\circ)} \eta(t) = 0 $ #### Frequenza delle piccole oscillazioni Poiché $a(q^\circ) > 0$ per il carattere positivo dell'energia cinetica, il comportamento del sistema dipende esclusivamente dal segno della derivata seconda del potenziale, calcolata nella posizione di equilibrio $U''(q^\circ)$. Abbiamo tre possibilità: - **$U''(q^\circ) < 0$ (Massimo del potenziale)**: Il moto è oscillatorio con frequenza $\color {green} \omega = \sqrt{-\frac{U''(q^\circ)}{a(q^\circ)}}$. La configurazione è stabile. - **$U''(q^\circ) > 0$ (Minimo del potenziale)**: Il moto è iperbolico (esponenziale). La configurazione è instabile. - **$U''(q^\circ) = 0$**: Il moto approssimato è lineare. La stabilità richiede l'analisi dei termini di ordine superiore del potenziale. La [[Stabilità dell'equilibrio|stabilità dell'equilibrio]] è garantita dal [[Stabilità dell'equilibrio|Teorema di Dirichlet-Lagrange]] se $q^\circ$ è un massimo isolato del potenziale. Se esiste un intorno di $q^\circ$ in cui $U(q) \ge U(q^\circ)$, la configurazione è instabile. ### Sistemi con più gradi di libertà Per un sistema con $N$ gradi di libertà, definiamo le coordinate locali $\mathbf{q} = \mathbf{q}^\circ + \varepsilon \boldsymbol{\eta}$. L'energia cinetica e lo sviluppo di Taylor del potenziale attorno all'equilibrio $\mathbf{q}^\circ$ forniscono la Lagrangiana linearizzata. Le equazioni di moto [[Sviluppo in serie di Taylor|linearizzate]] e approssimate al secondo ordine in $\varepsilon$ assumono la forma compatta: $ \mathbf{A}^\circ \ddot{\boldsymbol{\eta}} = \mathbf{B}^\circ \boldsymbol{\eta} $ dove $\mathbf{A}^\circ$ è la [[Matrice di massa|matrice di massa]] calcolata in $\mathbf{q}^\circ$ e $\mathbf{B}^\circ$ è la matrice Hessiana del potenziale: $ b_{ij}^\circ = \left. \frac{\partial^2 U}{\partial q_i \partial q_j} \right|_{\mathbf{q}=\mathbf{q}^\circ} $ #### Analisi del moto linearizzato e modi normali Cercando soluzioni del tipo $\boldsymbol{\eta}(t) = \boldsymbol{\eta}_0 e^{\lambda t}$, si giunge al problema agli autovalori generalizzato: $ (\mathbf{B}^\circ - \lambda^2 \mathbf{A}^\circ) \boldsymbol{\eta}_0 = 0 $ Le radici $\lambda^2$ dell'equazione caratteristica $\operatorname{det}(\mathbf{B}^\circ - \lambda^2 \mathbf{A}^\circ) = 0$ definiscono il comportamento del sistema: - **Modi normali oscillatori ($\lambda^2 < 0$)**: Definiscono oscillazioni collettive alla stessa autofrequenza $\omega = \sqrt{-\lambda^2}$. - **Modi normali lineari ($\lambda^2 = 0$)**: Comportano una crescita lineare nel tempo. - **Modi normali iperbolici ($\lambda^2 > 0$)**: Comportano una crescita esponenziale, indice di instabilità. La soluzione generale è una combinazione lineare di questi modi. Sfruttando l'ortogonalità degli autovettori rispetto al prodotto scalare cinematico $(\mathbf{u}, \mathbf{v}) = \mathbf{u} \cdot \mathbf{A}^\circ \mathbf{v}$, si determinano univocamente le ampiezze dei singoli modi a partire dalle condizioni iniziali. ### Esempi ed esercizi ##### Domande di teoria - [ ] Dimostrare come si ricava l'equazione linearizzata $A^\circ \ddot{\eta} = B^\circ \eta$ a partire dalle equazioni di Lagrange | Biscari 13.6 - [ ] Dimostrare la stabilità dell'equilibrio | Biscari 13.6 - [ ] Spiegare la relazione tra gli autovalori della matrice Hessiana $B^\circ$ e la stabilità della configurazione di equilibrio. - [ ] Perché nello sviluppo in serie di Taylor dell'equazione di Lagrange, la matrice di massa viene valutata solo all'ordine zero (costante), mentre il potenziale viene sviluppato fino al secondo ordine? ##### Esercizi - [ ] Esempi ed esercizi | Lezioni 64-66 Turzi - [ ] Esempi capitoli 13.6-13.7 | Biscari - [ ] Un sistema a un grado di libertà ha energia cinetica $T = \frac{1}{2} m (1 + q^2) \dot{q}^2$ e potenziale $U(q) = -k q^2 (1 - q^2)$. Determinare i punti di equilibrio, studiarne la stabilità e calcolare la frequenza delle piccole oscillazioni per i punti stabili. - [ ] Si consideri un sistema a due gradi di libertà con matrici $\mathbf{A}^\circ = \begin{pmatrix} m & 0 \\ 0 & 2m \end{pmatrix}$ e $\mathbf{B}^\circ = \begin{pmatrix} -k & k \\ k & -3k \end{pmatrix}$. Determinare le autofrequenze e i modi normali di oscillazione. ### Collegamenti --- > [!info]- Risorse > ![[!Meccanica Razionale#Risorse#Bibliografia]] > ![[!Meccanica Razionale#Risorse#Approfondimenti]]