La statica dei [[Sistemi vincolati|sistemi olonomi]] studia le condizioni di equilibrio di sistemi soggetti a [[Sistemi vincolati|vincoli]] olonomi, ovvero esprimibili mediante equazioni finite tra le coordinate spaziali. Attraverso l'uso delle [[Coordinate libere e gradi di libertà|coordinate libere]], il problema dell'equilibrio viene trasposto nello [[spazio delle configurazioni]], dove le [[reazioni vincolari]] vengono eliminate a favore delle forze generalizzate. ### Equilibrio in sistemi olonomi In un sistema olonomo con $N$ gradi di libertà, lo stato del sistema è descritto dalle coordinate libere $\mathbf{q} = (q_1, \dots, q_N)$. Il [[Principio dei lavori virtuali|lavoro virtuale]] delle forze attive si esprime come: $ \delta L^{(a)} = \sum_{h=1}^{N} Q_h \delta q_h = \mathbf{Q} \cdot \delta \mathbf{q} $ dove $Q_h$ sono le componenti della **forza generalizzata** Q. #### Vincoli bilaterali Se i vincoli sono bilaterali, tutti gli [[Spostamenti e velocità virtuali|spostamenti virtuali]] sono reversibili ($\delta \mathbf{q}$ può assumere qualsiasi segno). Il principio dei lavori virtuali impone che $\delta L^{(a)} = 0$ per ogni $\delta \mathbf{q}$, il che implica necessariamente: $ Q_h(\mathbf{q}) = 0 \quad \forall h=1, \dots, N $ Questo sistema di $N$ equazioni permette di determinare le configurazioni di equilibrio del sistema, analogamente a quanto avviene nella [[statica del corpo rigido]] per un punto libero. #### Vincoli unilateri e configurazioni di confine In presenza di vincoli unilateri, il sistema può trovarsi in: - **Configurazioni ordinarie**: Il punto $\mathbf{q}$ è interno al dominio delle configurazioni ammissibili. Qui gli spostamenti sono tutti [[Spostamenti e velocità virtuali|reversibili]] e vale la condizione $Q_h = 0$. - **Configurazioni di confine**: Il punto $\mathbf{q}$ si trova sulla frontiera del dominio. Alcuni spostamenti sono **irreversibili** (hanno segno obbligato). Per una configurazione di confine, l'equilibrio sussiste se: - $Q_h = 0$ per le coordinate che ammettono spostamenti reversibili. - $Q_h \leq 0$ se il vincolo impone $\delta q_h \geq 0$. - $Q_h \geq 0$ se il vincolo impone $\delta q_h \leq 0$. Fisicamente, ciò significa che ==la forza generalizzata deve essere diretta verso l'esterno del dominio ammissibile==, in modo che la reazione vincolare possa bilanciarla. #### Teorema di stazionarietà del potenziale Quando le forze attive sono [[Forze conservative|conservative]], esiste una funzione [[Energia potenziale|potenziale]] $U(\mathbf{q})$ tale che le forze generalizzate siano le sue [[Derivate parziali|derivate parziali]]: $ Q_h = \frac{\partial U}{\partial q_h} $ Le configurazioni ordinarie di equilibrio di un sistema olonomo conservativo sono tutti e soli i punti di stazionarietà del potenziale $U$. In tali punti, il gradiente del potenziale è nullo: $\color {green} \nabla U(\mathbf{q}) = \mathbf{0} $ Questo teorema semplifica la ricerca dell'equilibrio riducendola a un problema di ricerca di [[Massimi e minimi|punti critici]] di una funzione scalare. ### Stabilità dell'equilibrio in senso statico Una configurazione di equilibrio $\mathbf{q}^*$ è definita stabile in senso statico (o energetico) se il lavoro effettivo $\Delta L$ necessario per spostare il sistema in una qualunque configurazione vicina $\tilde{\mathbf{q}}$ è strettamente negativo: $ \Delta L_{\mathbf{q}^* \to \tilde{\mathbf{q}}}^{(a)} < 0 $ ==In termini fisici, le forze del sistema si oppongono allo spostamento dalla configurazione di equilibrio.== ![[Pasted image 20260501225209.png]] *Figura: Posizione di equilibrio stabile (a) $\delta L^{(a)} \leq 0$; e instabile (b) $\delta L^{(a)} \leq 0$* #### Criterio di Dirichlet Per sistemi conservativi, la stabilità in senso statico è garantita dal [[Stabilità dell'equilibrio#13.5.1 Teorema di stabilità di Dirichlet-Lagrange|Criterio di Dirichlet]] se la configurazione di equilibrio corrisponde a un **massimo relativo isolato** del potenziale $U(\mathbf{q})$. Equivalentemente, se utilizziamo l'energia potenziale $V = -U$, la stabilità corrisponde a un **minimo relativo isolato** di $V$. ### Esempi ed esercizi ##### Domande di teoria - [ ] Perché nel caso di vincoli bilaterali la condizione di equilibrio è $Q_h = 0$ per ogni $h$? - [ ] Enuncia e dimostra il teorema di stazionarietà del potenziale - [ ] Cosa significa che un sistema è in equilibrio stabile in senso statico, e quali sono le configurazioni di equilibrio stabile? ##### Esempi ed esercizi - [ ] Un sistema con un grado di libertà ha potenziale $U(q) = q^3 - 3q$. Determinare le posizioni di equilibrio ordinarie e stabilirne la stabilità. - [ ] Esempi ed esercizi | Lezione 56 Turzi - [ ] Esempi di applicazione | Biscari ### Collegamenti --- *Per risposte, ulteriori esercizi e approfondimenti consultare le risorse di riferimento.* > [!info]- Risorse > ![[!Meccanica Razionale#Risorse#Bibliografia]] > ![[!Meccanica Razionale#Risorse#Approfondimenti]]