Il [[Tensore]] d'inerzia è un operatore lineare che sintetizza le proprietà inerziali di un corpo rigido rispetto a un polo fissato. Esso permette di calcolare il momento angolare e l'energia cinetica rotazionale per qualunque asse di rotazione passante per tale polo. #### Matrice d'inerzia In un sistema di [[Coordinate cartesiane|coordinate cartesiane]], il **tensore d'inerzia** è rappresentato da una [[Matrici|matrice]] $3 \times 3$ [[!Algebra|reale simmetrica]]. Gli elementi sulla diagonale principale corrispondono ai [[Momento d'inerzia|momenti d'inerzia]] rispetto agli assi coordinati (x, y, z), mentre gli elementi fuori diagonale sono i [[Momenti di inerzia rispetto ad assi concorrenti|prodotti d'inerzia]] (o momenti centrifughi). La matrice d'inerzia $\mathbf{I}_{O}$ assume quindi la forma: $ \mathbf{I}_{O} = \begin{bmatrix} I_{x} & I_{xy} & I_{xz} \\ I_{xy} & I_{y} & I_{yz} \\ I_{xz} & I_{yz} & I_{z} \end{bmatrix} $ La dicitura matrice di inerzia è giustificata dal fatto che risulta possibile definire una trasformazione lineare $\mathbf{I}_{O}$ (detta [[Tensore]] di inerzia) tale che la sua matrice nella base di assi coordinati coincide precisamente con la precedente. Per ogni vettore $\mathbf{v}$, l'azione del tensore è infatti data da: $ \mathbf{I}_{O} \mathbf{v} = \int_{\mathscr{B}} \rho \left[ (OP)^2 \mathbf{v} - (OP \cdot \mathbf{v}) OP \right] d\tau $ Questa definizione assicura che la matrice associata all'operatore nella base coordinata coincida con la matrice d'inerzia precedentemente definita. La natura simmetrica del tensore garantisce, per il teorema spettrale, l'esistenza di una base di [[Autovalori e autovettori|auto-vettori]], detti [[Assi e momenti principali d'inerzia|assi principali d'inerzia]], rispetto ai quali la matrice risulta diagonale. ##### Domande di teoria **Rispondere alle seguenti domande specifiche:** - [ ] Che cosa è il tensore d'inerzia? Come è collegato alla matrice d'inerzia, e quale è la differenza tra i due termini? *Consultare le risorse consigliate in fondo alla nota per soluzioni e approfondimenti.* --- > [!info]- Risorse > ![[!Meccanica Razionale#Risorse#Bibliografia]] > ![[!Meccanica Razionale#Risorse#Approfondimenti]]