Il **Teorema di Chasles** identifica il **centro di istantanea rotazione (CIR)** di un moto rigido piano come il punto di intersezione delle normali alle velocità di due punti distinti del sistema. #### Caratterizzazione del moto rigido piano In un [[Cinematica del corpo rigido|moto rigido piano]], il vettore velocità angolare $\boldsymbol{\omega}$ è costantemente ortogonale al piano direttore del moto, mentre i vettori velocità $\mathbf{v}$ giacciono parallelamente ad esso. Questa configurazione geometrica implica che il [[Prodotto scalare|prodotto scalare]] tra la velocità angolare e la velocità di un punto generico sia nullo: $I = \boldsymbol{\omega} \cdot \mathbf{v}(Q) = 0$ L'annullarsi dell'[[Atto di moto rigido#Invariante scalare cinematico|invariante scalare cinematico]] $I$ è una proprietà fondamentale dei moti piani e comporta che ogni [[Atto di moto rigido|atto di moto]] rigido piano non **traslatorio** sia necessariamente **rotatorio.** Di conseguenza, esiste sempre un [[Teorema di Mozzi|asse di istantanea rotazione]] perpendicolare al piano, la cui intersezione con quest'ultimo definisce il **centro di istantanea rotazione (CIR)**. ### Il Teorema di Chasles Il teorema fornisce un metodo geometrico immediato per la localizzazione del centro di istantanea rotazione (CIR). **Teorema di Chasles** Siano $A$ e $B$ due punti di un sistema in moto rigido piano. Se le rette perpendicolari ai vettori velocità $\mathbf{v}(A)$ e $\mathbf{v}(B)$, condotte rispettivamente per $A$ e $B$, si incontrano in un unico punto $H$, tale punto coincide con il **centro di istantanea rotazione** dell'atto di moto. ##### Dimostrazione Poiché l'atto di moto è rotatorio, la velocità di un punto generico $P$ è espressa tramite il [[Prodotto vettoriale|prodotto vettoriale]] riferito al CIR (punto $C$): $\mathbf{v}(P) = \boldsymbol{\omega} \wedge (P - C)$ Per le proprietà del prodotto vettoriale, il vettore posizione relativa $(P - C)$ deve essere perpendicolare alla velocità $\mathbf{v}(P)$. Ciò significa che il punto $C$ deve trovarsi sulla retta passante per $P$ e normale a $\mathbf{v}(P)$. Applicando questo ragionamento contemporaneamente ai punti $A$ e $B$, il punto $C$ deve appartenere all'intersezione delle due normali. Se le velocità non sono parallele, l'intersezione è unica e identifica il punto $H = C$. ![[Pasted image 20260506114458.png]] ### Campo Spaziale delle Accelerazioni Il campo delle accelerazioni in un [[Moti rigidi|moto rigido]] descrive l'accelerazione $\mathbf{a}$ di ogni punto $P$ dello spazio occupato dal sistema. Durante un moto rigido il campo spaziale delle accelerazioni soddisfa la [[Caratterizzazione dei moti rigidi|legge di distribuzione delle accelerazione]]: $\color {green} \mathbf{a}(P) = \mathbf{a}(Q) + \dot{\boldsymbol{\omega}} \wedge (P - Q) + \boldsymbol{\omega} \wedge (\boldsymbol{\omega} \wedge (P - Q))$ A differenza della distribuzione delle velocità, che dipende solo da $\mathbf{v}(Q)$ e $\boldsymbol{\omega}$, la distribuzione delle accelerazioni richiede la conoscenza di tre parametri vettoriali: - l'accelerazione di un punto di riferimento $\mathbf{a}(Q)$ - la velocità angolare $\boldsymbol{\omega}$ - l'accelerazione angolare $\dot{\boldsymbol{\omega}}$. #### Rotazione uniforme In un moto rotatorio uniforme ($\dot{\boldsymbol{\omega}} = \mathbf{0}$) attorno a un asse fisso, scegliendo un punto $H$ sull'asse di rotazione, l'accelerazione di un punto $P$ si riduce alla sola **componente centripeta:** $\color {green}\mathbf{a}(P)=-\omega^2 H P$ *In questa condizione, l'accelerazione è diretta radialmente verso l'asse di rotazione e il suo modulo è proporzionale alla distanza del punto $P$ dall'asse stesso.* ##### Domande di teoria **Rispondere alle seguenti domande specifiche:** - [ ] Cosa è il teorema di Chasles e a cosa serve? Quali sono le sue conseguenze? - [ ] Cosa è il centro di istantanea rotazione in un moto rigido? - [ ] Cosa è il campo spaziale delle accelerazioni? - [ ] Dimostra il teorema di Chasles *Consultare le risorse consigliate in fondo alla nota per soluzioni e approfondimenti.* ##### Esempi ed esercizi **Rispondere alle seguenti domande specifiche:** - [ ] Esempio 17.5 | Turzi - [ ] Esercizio 17.7 | Turzi - [ ] Esercizio 17.8 | Turzi *Consultare le risorse consigliate in fondo alla nota per soluzioni e approfondimenti.* --- > [!info]- Risorse > ![[!Meccanica Razionale#Risorse#Bibliografia]] > ![[!Meccanica Razionale#Risorse#Approfondimenti]]