==Il **Teorema di Mozzi** stabilisce che ogni [[Atto di moto rigido]] con [[Velocità e accelerazione angolari|velocità angolare]] non nulla ammette un **asse di moto**, ovvero una retta i cui punti possiedono una velocità parallela alla velocità angolare e di modulo minimo.== Il più generico atto di moto è quindi di tipo **elicoidale**: in ogni istante il moto può essere approssimato come una traslazione in una retta e una rotazione attorno all'asse di moto. *Durante il moto queste direzioni cambiano, portando ai sei gradi di libertà del corpo rigido, ma in un istante fisso possiamo considerare solo i due appena descritti.* ### Asse di moto e velocità di traslazione Considerando un generico [[Atto di moto rigido|atto di moto rigido]] in cui la velocità angolare $\boldsymbol{\omega}$ sia diversa da zero, il teorema garantisce l'esistenza di una retta privilegiata denominata **asse di moto** (o asse del Mozzi). Tutti i punti appartenenti a questa retta condividono la medesima velocità, definita **velocità di traslazione**, che risulta essere parallela al [[Vettori|vettore]] $\boldsymbol{\omega}$. *Dal punto di vista geometrico, l'asse di moto rappresenta il luogo dei punti che minimizzano il modulo della velocità.* *Per ogni punto $P$ non appartenente all'asse, la velocità $\mathbf{v}(P)$ può essere decomposta in una componente parallela all'asse e una perpendicolare dovuta alla rotazione; per il teorema di Pitagora, il modulo risultante sarà sempre superiore a quello dei punti sull'asse.* ![[Pasted image 20260228222831.png]] #### Invariante scalare e asse di istantanea rotazione L'analisi dell'asse di moto è strettamente legata all'**[[Atto di moto rigido#Invariante scalare cinematico|invariante scalare cinematico]]** $I = \mathbf{v}(Q) \cdot \boldsymbol{\omega}$. Questo valore è indipendente dal punto $Q$ scelto e determina la natura dell'atto di moto: - Se $I \neq 0$, l'atto di moto è propriamente roto-traslatorio (o elicoidale). - Se $I = 0$ (con $\boldsymbol{\omega} \neq \mathbf{0}$), l'atto di moto si riduce a **rotatorio**. In quest'ultimo caso, l'asse di moto prende il nome di **asse di istantanea rotazione**, poiché è costituito da punti con velocità nulla ($\mathbf{v} = \mathbf{0}$). ==L'annullarsi dell'invariante scalare è dunque la condizione necessaria e sufficiente affinché un atto di moto rigido non traslatorio sia puramente rotatorio.== Nel caso in cui sia $I=0$ con $\boldsymbol{\omega} \neq \mathbf{0}$, la [[Caratterizzazione dei moti rigidi|legge di distribuzione delle velocità]] considerata nel generico punto $Q$ con $C$ collocato sull'asse di istantanea rotazione, per il quale si ha $\mathbf{v}(C)=\mathbf{0}$, potremo scrivere $ \mathbf{v}(P)=\omega \wedge C P $ ==Per cui un atto di moto rigido si riduce a **rotatorio** quando esiste almeno un punto (e di conseguenza un'intera retta, l'asse di istantanea rotazione) con velocità nulla.== ##### Dimostrazione Per individuare la posizione dell'asse di moto nello spazio, si ricerca il punto di intersezione $H$ con un piano perpendicolare a $\boldsymbol{\omega}$ passante per un punto arbitrario $O$. Imponendo la condizione di parallelismo tra la velocità in $H$ e la velocità angolare ($\mathbf{v}(H) \wedge \boldsymbol{\omega} = \mathbf{0}$), si ricava il vettore posizione: $O H = \frac{\boldsymbol{\omega} \wedge \mathbf{v}(O)}{\omega^2}$ La retta che costituisce l'asse di moto può quindi essere espressa in forma parametrica come: $O M(\lambda) = \frac{\boldsymbol{\omega} \wedge \mathbf{v}(O)}{\omega^2} + \lambda \boldsymbol{\omega}$ dove $\lambda$ è un parametro reale che identifica i diversi punti lungo la retta. ![[Pasted image 20260508154110.png]] Per un generico punto esterno all'asse, la velocità è data dalla somma vettoriale della velocità di un punto dell'asse e del termine rotazionale . Essendo questi due vettori ortogonali, si ha: $|\mathbf{v}(P)|^2 = |\mathbf{v}(M)|^2 + |\boldsymbol{\omega} \wedge (P - M)|^2 \geq |\mathbf{v}(M)|^2$ Ciò conferma che i punti dell'asse del Mozzi sono gli unici a possedere la velocità di modulo minimo nell'intero [[Cinematica del corpo rigido|corpo rigido]]. ##### Domande di teoria **Rispondere alle seguenti domande specifiche:** - [ ] Dimostra il teorema di Mozzi - [ ] Che cosa si intende per asse di istantanea rotazione? A cosa serve identificarli nell'atto di moto del corpo? *Consultare le risorse selezionate in fondo alla nota per soluzioni e approfondimenti.* ##### Esempi ed esercizi **Rispondere alle seguenti domande specifiche:** - [ ] Esercizio 15.8 | Turzi - [ ] Esercizio 16.1 | Turzi - [ ] Esercizio 16.2 | Turzi *Consultare le risorse selezionate in fondo alla nota per soluzioni e approfondimenti.* --- > [!info]- Risorse > ![[!Meccanica Razionale#Risorse#Bibliografia]] > ![[!Meccanica Razionale#Risorse#Approfondimenti]]