I [[Sistemi vincolati|vincoli]] di mobilità sono restrizioni imposte direttamente sugli [[Atto di moto rigido|atti di moto]] di un sistema meccanico. Si dividono in **olonomi**, se riducibili a legami tra le posizioni, e **anolonomi**, se limitano solo le direzioni di movimento istantaneo senza ridurre lo spazio delle configurazioni. #### Vincoli bilateri olonomi Un vincolo bilatero si dice **[[Sistemi vincolati|olonomo]]** quando può essere espresso come un legame finito tra le coordinate del sistema ed eventualmente, il tempo $t$: $f(q_1, q_2, \dots, q_N; t) = 0$ Questi vincoli riducono direttamente il numero di parametri necessari per descrivere la configurazione del sistema. Se il tempo non compare esplicitamente, il vincolo è detto fisso (o scleronomo), altrimenti è mobile (o reonomo). Un esempio di fondamentale importanza di vincolo bilaterale olonomo è il **vincolo di puro rotolamento**; fondamentale per caratterizzare la cinematica e analizzare la dinamica del [[Moto di puro rotolamento]] ### Vincolo di puro rotolamento Il **puro rotolamento** (rotolamento senza strisciamento) impone che il punto di contatto $P$ tra due corpi abbia velocità istantanea nulla rispetto alla superficie di appoggio. ![[Pasted image 20260305171748.png]] Analiticamente, se $\mathbf{v}_1$ e $\mathbf{v}_2$ sono le velocità dei punti materiali istantaneamente coincidenti nel contatto, il vincolo impone: $\color {green} \mathbf{v}_1 = \mathbf{v}_2$ Se il vincolo permettesse lo strisciamento, l'unica restrizione riguarderebbe la componente normale della velocità ($\mathbf{v}_1 \cdot \mathbf{n} = \mathbf{v}_2 \cdot \mathbf{n}$), necessaria per evitare il distacco o la compenetrazione dei corpi. #### Disco che rotola senza strisciare Consideriamo un disco che si muove su una guida fissa (asse $x$). La sua configurazione è data dall'ascissa $x$ del centro $G$ e dall'angolo di rotazione $\theta$. ![[Pasted image 20260506114955.png]] Applicando la formula dell'[[Atto di moto rigido|atto di moto rigido]], la velocità del punto di contatto $C$ è: $\mathbf{v}(C) = \mathbf{v}(G) + \boldsymbol{\omega} \wedge (G - C) = (\dot{x} - R\dot{\theta})\mathbf{i}$ Imponendo la condizione di puro rotolamento $\mathbf{v}(C) = 0$, otteniamo: $\color {green}\dot{x} = R\dot{\theta}$ In questo caso specifico, il vincolo è **olonomo** poiché è integrabile nella forma: $x = R\theta + c$ Ciò riduce i gradi di libertà del sistema da due a uno, rendendo $x$ dipendente esclusivamente da $\theta$. #### Distribuzione delle velocità L'atto di moto del disco è una rotazione istantanea attorno al punto di contatto $C$, che assume il ruolo di [[Teorema di Chasles|centro di istantanea rotazione]] (CIR). La velocità di un generico punto $P$ è data da: $\mathbf{v}(P) = \boldsymbol{\omega} \wedge (P - C)$ Di particolare interesse sono le velocità dei punti notevoli: - **Centro $G$**: Possiede velocità e accelerazione parallele alla guida, e di modulo $\color {green} \begin {cases} v_C = \omega R \\ a_C = \alpha R \end {cases}$ - **Punto $H$ (sommità)**: Essendo a distanza $2R$ dal CIR, possiede una velocità doppia rispetto al centro, $v_H = 2\omega R$. ![[Pasted image 20260506115008.png]] ### Vincoli Anolonomi Un vincolo si definisce **anolonomo** (o di pura mobilità) quando non è esprimibile come legame tra le sole coordinate (non è integrabile). ==Questi vincoli non riducono il numero di configurazioni raggiungibili dal sistema (dimensione dello [[Spazio delle configurazioni|spazio delle configurazioni]]), ma limitano i percorsi (atti di moto) possibili per raggiungerle.== Esempi classici includono: - **Il moto del pattino (o slitta)** - **Il moto della ruota di un'automobile** #### L'Asta di Rayleigh (Pattino su Ghiaccio) Si consideri un'asta $AB$ libera di muoversi nel piano, con il vincolo che la velocità del suo punto medio $G$ sia sempre parallela all'asse dell'asta stessa. Questo modello descrive il comportamento di un pattino o di una slitta. ![[Pasted image 20260506115019.png]] Se $(x, y)$ sono le coordinate di $G$ e $\theta$ l'angolo di orientamento, la condizione di parallelismo si traduce nell'equazione: $\dot{x} \sin \theta - \dot{y} \cos \theta = 0$ Sebbene questa relazione leghi le velocità, l'asta può comunque raggiungere qualsiasi posizione e orientamento nel piano tramite opportune manovre. Non esiste infatti alcuna restrizione sulle coordinate $(x, y, \theta)$ che possa essere derivata da questa formula. #### Ruota di un'automobile Il caso più comune di vincolo anolonomo è il rotolamento senza strisciamento di una ruota verticale su un piano. La ruota può raggiungere ogni punto $(x, y)$ del parcheggio con qualsiasi orientamento $\theta$, ma non può muoversi istantaneamente in direzione trasversale (moto laterale). ![[Pasted image 20260506115034.png]] Le equazioni che governano il sistema per un disco di raggio $R$ sono: $\begin{cases} \dot{x} + R \dot{\phi} \cos \theta = 0 \\ \dot{y} + R \dot{\phi} \sin \theta = 0 \end{cases}$ Dove $\phi$ rappresenta l'angolo di rotazione propria e $\theta$ l'orientamento dello sterzo. Queste equazioni collegano le coordinate $(x, y, \theta, \phi)$ ma non sono integrabili. ==Questo spiega perché un'auto può parcheggiare in qualsiasi posizione (configurazione) nel piano, ma deve eseguire manovre specifiche (traiettorie vincolate) per farlo.== ##### Domande di teoria **Rispondere alle seguenti domande specifiche:** - [ ] Che cosa è un vincolo bilatero olonomo? - [ ] Quali sono le condizioni per il moto di puro rotolamento? *Consultare le risorse consigliate in fondo alla nota per soluzioni e approfondimenti.* ##### Esempi ed esercizi **Risolvere i seguenti esempi ed esercizi:** - [ ] Dimostra le condizioni di puro rotolamento - [ ] Esempio del moto di puro rotolamento | 4.7 Biscari - [ ] Esempi di vincoli anolonomi | 4.8 Biscari - [ ] Moto del pattino su ghiaccio - [ ] Ruota di un automobile - [ ] Esercizi Lezione 20 | Turzi *Consultare le risorse consigliate in fondo alla nota per soluzioni e approfondimenti.* --- > [!info]- Risorse > ![[!Meccanica Razionale#Risorse#Bibliografia]] > ![[!Meccanica Razionale#Risorse#Approfondimenti]]