### Formulario #### Capitolo 1: Reti elettriche nel dominio del tempo | Formula | Descrizione | Utilizzo e Importanza | | :---------------------------------------------- | :---------------------------------------------------------- | :----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- | | $d \ll \lambda = c/f$ | Condizione di validità del modello a parametri concentrati. | **Relazione Fondamentale**: Definisce il limite fisico oltre il quale un circuito deve essere studiato a parametri distribuiti. | | $v(t) = Ri(t)$ | Legge di Ohm per il resistore. | **Relazione Fondamentale**: Lega tensione e corrente in un elemento dissipativo; usata in ogni analisi di maglia o nodo. | | $i(t) = C\frac{dv}{dt}$ | Relazione costitutiva del condensatore. | **Relazione Fondamentale**: Descrive il comportamento dinamico del condensatore; essenziale per impostare equazioni differenziali. | | $v(t) = L\frac{di}{dt}$ | Relazione costitutiva dell'induttore. | **Relazione Fondamentale**: Descrive l'opposizione dell'induttore alle variazioni di corrente; base per i transitori RL. | | $U = \frac{1}{2} C V^2$ | Energia elettrostatica immagazzinata nel condensatore. | **Relazione Fondamentale**: Utilizzata per calcolare l'energia accumulata nel campo elettrico. | | $U = \frac{1}{2} L I^2$ | Energia magnetica immagazzinata nell'induttore. | **Relazione Fondamentale**: Utilizzata per calcolare l'energia accumulata nel campo magnetico. | | $\sum_{k=1}^{n} I_k = 0$ | Prima Legge di Kirchhoff (KCL). | **Relazione Fondamentale**: Esprime la conservazione della carica ai nodi; base per il metodo delle tensioni nodali. | | $\sum^N_{k=1} \Delta V_k = 0$ | Seconda Legge di Kirchhoff (KVL). | **Relazione Fondamentale**: Esprime la conservatività del campo elettrico nelle maglie; base per il metodo delle correnti di maglia. | | $V_{eq} = \sum_{k=1}^{n} \pm E_k$ | Tensione equivalente di generatori in serie. | **Relazione Fondamentale**: Somma algebrica delle f.e.m. per semplificare rami attivi. | | $V_C(t) = V_0 (1 - e^{-\frac{t}{RC}})$ | Tensione di carica nel circuito RC. | **Relazione Fondamentale**: Descrive l'andamento temporale della tensione durante la carica di un condensatore. | | $i(t) = \frac{V_0}{R} e^{-\frac{t}{RC}}$ | Corrente di carica/scarica nel circuito RC. | **Relazione Fondamentale**: Utilizzata per determinare la sollecitazione di corrente nei componenti durante il transitorio. | | $i(t) = \frac{V}{R}(1 - e^{-\frac{R}{L}t})$ | Corrente di carica nel circuito RL. | **Relazione Fondamentale**: Descrive la crescita esponenziale della corrente in un induttore. | | $\tau = \frac{L}{R}$ | Costante di tempo del circuito RL. | **Definizione Operativa**: Indica la rapidità del transitorio; usata per stimare il tempo di esaurimento dei fenomeni dinamici. | | $I_{med} = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} i(t) dt$ | Valore medio di una grandezza periodica. | **Definizione Operativa**: Calcola la componente continua (DC) di un segnale variabile. | | $I = \sqrt{\frac{1}{T} \int_{0}^{T} i^2(t) dt}$ | Valore efficace (RMS). | **Definizione Operativa**: Rappresenta l'equivalenza energetica con la corrente continua; parametro base per i calcoli di potenza. | | $I = \frac{I_{max}}{\sqrt{2}}$ | Legame valore efficace-massimo per sinusoidi. | **Relazione Fondamentale**: Semplifica il calcolo del valore efficace senza ricorrere all'integrale per segnali armonici. | #### Capitolo 2: Reti elettriche nel dominio della frequenza | Formula | Descrizione | Utilizzo e Importanza | | :--------------------------------------------------- | :---------------------------------------------- | :-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- | | $\psi = -\omega t_f$ | Angolo di fase iniziale. | **Definizione Operativa**: Lega lo sfasamento angolare all'istante di attraversamento dello zero. | | $\dot{A} = A_{max} e^{j\psi}$ | Rappresentazione fasoriale di una sinusoide. | **Definizione Operativa**: Trasforma funzioni temporali in numeri complessi per semplificare i calcoli algebrici. | | $\dot{I}_S = \dot{I}_1 \pm \dot{I}_2$ | Somma fasoriale delle correnti. | **Relazione Fondamentale**: Applica la KCL nel dominio della frequenza tramite somma vettoriale. | | $\frac{d\dot{A}}{dt} = j\omega \dot{A}$ | Derivazione nel dominio dei fasori. | **Relazione Fondamentale**: Sostituisce l'operazione di derivata con un prodotto per $j\omega$. | | $\int \dot{A} dt = \frac{\dot{A}}{j\omega}$ | Integrazione nel dominio dei fasori. | **Relazione Fondamentale**: Sostituisce l'operazione di integrale con una divisione per $j\omega$. | | $\dot{V} = R \dot{I}$ | ==Legge di Ohm simbolica per il resistore.== | **Relazione Fondamentale**: Indica che tensione e corrente nel resistore sono sempre in fase. | | $\dot{V} = j \omega L \dot{I}$ | ==Legge di Ohm simbolica per l'induttore.== | **Relazione Fondamentale**: Mostra lo sfasamento di $90^\circ$ (anticipo tensione) dovuto all'induttanza. | | $\dot{V} = \frac{1}{j\omega C} \dot{I}$ | ==Legge di Ohm simbolica per il condensatore.== | **Relazione Fondamentale**: Mostra lo sfasamento di $90^\circ$ (ritardo tensione) dovuto alla capacità. | | $\dot{V} = \bar{Z} \dot{I}$ | ==Legge di Ohm generalizzata (fasoriale).== | **Relazione Fondamentale**: Relazione cardine per risolvere circuiti in AC; lega i fasori tramite l'impedenza. | | $\bar{Z} = R + jX$ | Operatore di impedenza complessa. | **Definizione Operativa**: Sintetizza resistenza e reattanza; usata per calcolare moduli e sfasamenti. | | $\bar{Y} = \frac{1}{\bar{Z}} = G - jB$ | Operatore di ammettenza complessa. | **Definizione Operativa**: Facilita l'analisi di circuiti in parallelo. | | $\bar{Z}_{eq} = \sum \bar{Z}_i$ | Impedenza equivalente serie. | **Relazione Fondamentale**: Somma delle impedenze per semplificare rami in serie. | | $Z_{\Delta} = 3 Z_Y$ | Equivalenza Stella-Triangolo equilibrata. | **Relazione Fondamentale**: Permette la conversione rapida tra carichi trifase simmetrici. | | $P = VI \cos \varphi$ | Potenza attiva. | **Definizione Operativa**: Calcola la potenza effettivamente dissipata o trasformata in lavoro (Watt). | | $Q = VI \sin \varphi$ | Potenza reattiva. | **Definizione Operativa**: Calcola la potenza scambiata tra rete e campi reattivi (VAR). | | $P_A = VI = \sqrt{P^2 + Q^2}$ | Potenza apparente. | **Definizione Operativa**: Rappresenta il dimensionamento totale dei componenti (VA). | | $\dot{P} = \dot{V} \breve{I} = P + jQ$ | Potenza complessa. | **Definizione Operativa**: Fornisce simultaneamente $P$ e $Q$ tramite il prodotto fasoriale (usando il coniugato della corrente). | | $P = R I^2, Q = X I^2, P_A = Z I^2$ | Potenze in funzione dell'impedenza. | **Relazione Fondamentale**: Calcola le potenze conoscendo solo il valore efficace della corrente e i parametri del bipolo. | | $\cos \varphi = \frac{P}{P_A}$ | Fattore di potenza. | **Definizione Operativa**: Misura l'efficienza energetica del carico. | | $\sum \dot{P}_k = 0$ | Teorema di Boucherot (Potenza complessa). | **Relazione Fondamentale**: Esprime la conservazione dell'energia totale nella rete. | | $C = \frac{\omega L - R \tan \varphi_r}{\omega Z^2}$ | Capacità di rifasamento (RL serie). | **Relazione Fondamentale**: Calcola il condensatore necessario per portare lo sfasamento al valore desiderato $\varphi_r$. | | $C = \frac{P \tan \varphi}{\omega V^2}$ | Capacità di rifasamento (dati P, V). | **Relazione Fondamentale**: Formula operativa standard per il rifasamento industriale conoscendo potenza e tensione. | #### Capitolo 3: Sistemi Trifase | Formula | Descrizione | Utilizzo e Importanza | | :------------------------------------------------------------------------------ | :-------------------------------------------- | :--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- | | $\dot{E}_1 + \dot{E}_2 + \dot{E}_3 = 0$ | Somma delle tensioni di una terna simmetrica. | **Relazione Fondamentale**: Dimostra l'assenza di corrente nel neutro in sistemi equilibrati. | | $\dot{V}_{Y 12} = E_1 - E_2$ | Tensione concatenata (Stella). | **Relazione Fondamentale**: Lega le tensioni tra le linee alle tensioni di fase. | | $\dot{V}_{Y 12} = \sqrt{3} \dot{E}_1 e^{j \frac{\pi}{6}}$ | Legame tensioni concatenate-fase (Balanced). | **Relazione Fondamentale**: Mostra che la concatenata è $\sqrt{3}$ volte la stellata e anticipa di $30^\circ$. | | $\dot{I}_{\ell_{\Delta 1}} = \sqrt{3} \dot{I}_{\Delta 12} e^{-j \frac{\pi}{6}}$ | Legame correnti linea-fase (Triangolo). | **Relazione Fondamentale**: Mostra che la corrente di linea è $\sqrt{3}$ volte quella di fase e ritarda di $30^\circ$. | | $\dot{E}_{Y 1} = \frac{\dot{V}_{\Delta 12}}{\sqrt{3}} e^{-j \frac{\pi}{6}}$ | Conversione Triangolo-Stella (Tensioni). | **Relazione Fondamentale**: Fondamentale per ricondurre ogni sistema al circuito monofase equivalente. | | $P = 3 E I_\ell \cos \varphi = \sqrt{3} V I_\ell \cos \varphi$ | Potenza attiva trifase. | **Relazione Fondamentale**: Calcola la potenza totale in sistemi equilibrati usando valori di linea o di fase. | | $Q = 3 E I_\ell \sin \varphi = \sqrt{3} V I_\ell \sin \varphi$ | Potenza reattiva trifase. | **Relazione Fondamentale**: Calcola lo scambio reattivo totale nel sistema trifase. | | $\dot{P} = 3 \dot{E}_1 \breve{I}_{\ell 1} = P + jQ$ | Potenza complessa trifase. | **Definizione Operativa**: Analisi vettoriale del flusso energetico trifase. | | $-Q_{C_\Delta} = 3 \omega C_\Delta V^2$ | Potenza reattiva condensatori a triangolo. | **Relazione Fondamentale**: Calcola il contributo di rifasamento per batterie connesse a triangolo. | | $-Q_{C_Y} = \omega C_Y V^2$ | Potenza reattiva condensatori a stella. | **Relazione Fondamentale**: Calcola il contributo di rifasamento per batterie connesse a stella. | | $C_\Delta = -\frac{Q_{Cn}}{3 \omega V_n^2}$ | Capacità di rifasamento trifase (Triangolo). | **Definizione Operativa**: Dimensionamento dei singoli condensatori per rifasamento a triangolo. | ### Procedura generale **Esercizio tipo 1: Analisi di reti nel dominio del tempo** [[Cheat sheet - Circuiti elettrici nel dominio del tempo.canvas]] 1. Determinare le condizioni iniziali del sistema all'istante $t = 0^-$ (continuità della tensione per $C$ e della corrente per $L$). 2. Identificare la configurazione della rete per $t > 0$ (dopo la manovra dell'interruttore). 3. Calcolare la costante di tempo $\tau$ ($RC$ oppure $L/R$) della rete vista dai morsetti dell'elemento reattivo. 4. Determinare il valore di regime (asintotico) della grandezza per $t \to \infty$. 5. Scrivere l'equazione temporale nella forma: $x(t) = x(\infty) + [x(0^+) - x(\infty)]e^{-t/\tau}$. **Esercizio tipo 2: Analisi di reti AC in regime sinusoidale** [[Cheat sheet - Circuiti elettrici nel dominio della frequenza.canvas]] 1. Trasformare tutti i generatori in fasori ($\dot{V}, \dot{I}$) e i componenti in impedenze ($\bar{Z} = R + jX$). 2. Semplificare la rete tramite serie/parallelo o trasformazioni Stella-Triangolo se possibile. 3. Scegliere il metodo di analisi più efficiente (Correnti di maglia se poche maglie, Tensioni nodali se pochi nodi). 4. Impostare il sistema lineare $[\bar{Z}][\dot{I}] = [\dot{V}]$ o $[\bar{Y}][\dot{V}] = [\dot{I}]$. 5. Risolvere il sistema (es. Cramer) per trovare le incognite fasoriali. 6. Calcolare le potenze complesse $\dot{P} = \dot{V}\breve{I}$ e verificare il bilancio di Boucherot. **Esercizio tipo 3: Risoluzione di sistemi trifase equilibrati** [[Cheat Sheet - Sistemi Trifase.canvas]] 1. Verificare che la terna dei generatori sia simmetrica e il carico equilibrato. 2. Ricondurre tutti i componenti alla configurazione a Stella (Y). Se ci sono carichi a triangolo, trasformarli in $\bar{Z}_Y = \bar{Z}_\Delta / 3$. 3. Estrarre il circuito monofase equivalente (fase 1 rispetto al neutro). 4. Calcolare la tensione di fase $E = V / \sqrt{3}$. 5. Risolvere il circuito monofase per trovare la corrente di linea $\dot{I}_{\ell 1} = \dot{E}_1 / \bar{Z}_{tot}$. 6. Ricavare le altre correnti di linea ruotando $\dot{I}_{\ell 1}$ di $\pm 120^\circ$. 7. Calcolare la potenza totale: $P_{tot} = 3 \cdot P_{monofase}$. ### Legenda - $d$: Massima dimensione del circuito [m] - $\lambda$: Lunghezza d'onda [m] - $c$: Velocità della luce ($\approx 3 \cdot 10^8$) [m/s] - $f$: Frequenza [Hz] - $\omega$: Pulsazione o velocità angolare [rad/s] - $v(t), i(t)$: Valori istantanei di tensione e corrente [V, A] - $V, I$: Valori efficaci di tensione e corrente [V, A] - $\dot{V}, \dot{I}$: Fasori di tensione e corrente [V, A] - $\breve{I}$: Complesso coniugato del fasore di corrente [A] - $R$: Resistenza elettrica [$\Omega$] - $L$: Induttanza [H] - $C$: Capacità [F] - $M$: Coefficiente di mutua induzione [H] - $\bar{Z}$: Impedenza complessa [$\Omega$] - $X$: Reattanza ($X_L$ induttiva, $X_C$ capacitiva) [$\Omega$] - $\bar{Y}$: Ammettenza complessa [S] - $G$: Conduttanza [S] - $B$: Suscettanza [S] - $\tau$: Costante di tempo [s] - $\psi$: Angolo di fase iniziale [rad] - $\varphi$: Angolo di sfasamento tra tensione e corrente [rad] - $P$: Potenza attiva [W] - $Q$: Potenza reattiva [VAR] - $P_A$: Potenza apparente [VA] - $\dot{P}$: Potenza complessa [VA] - $E$: Tensione di fase (stellata) [V] - $V$: Tensione di linea (concatenata) [V] - $I_\ell$: Corrente di linea [A] - $\alpha$: Fattore di rotazione trifase ($e^{j \frac{2}{3}\pi}$) [-]