Il **circuito RC** è un circuito elettrico fondamentale composto da un [[Legge di Ohm|resistore]] (R) e un [[Condensatore|condensatore]] (C) collegati in serie. ![[Pasted image 20251128141411.png]] Tensione V applicata costante nel tempo - Posizione 1: carica del condensatore - Posizione 2: scarica del condensatore #### Processo di carica (RC) --- Applicando una tensione V continua, nel circuito inizia a scorrere una corrente di carica $i_c(t)$ e sulle armature del condensatore si accumulano le cariche elettriche trasportate dalla corrente di carica. All'aumentare della quantità di carica $q(t)$ sulle armature aumenta in proporzione anche la tensione $\mathrm{v}_{\mathrm{c}}(\mathrm{t})$ tra di esse; in tal modo quando $\mathrm{v}_{\mathrm{c}}(\mathrm{t})$ ha raggiunto un valore uguale alla V , il circuito raggiunge una condizione di equilibrio e nel circuito non scorre più corrente. All'istante $t_0 = 0$, il condensatore è scarico e l'interruttore viene chiuso, permettendo alla corrente di fluire e al condensatore di caricarsi. Applicando la [[Leggi di Kirchhoff|legge di Kirchhoff delle tensioni]] al circuito, otteniamo: $V_0 = V_R(t) + V_C(t)$ dove, pe [[Bipoli lineari passivi|equazioni costitutive]]: * $V_R(t) = R \cdot i(t)$ è la tensione ai capi del resistore (per la [[Legge di Ohm]]). * $V_C(t) = \frac{q(t)}{C}$ è la tensione ai capi del [[Condensatore]]. * $i(t) = \frac{dq(t)}{dt}$ è la corrente nel circuito, definita come la derivata della carica rispetto al tempo. Sostituendo queste espressioni nell'equazione di Kirchhoff, otteniamo l'[[Equazioni differenziali lineari del primo ordine|equazione differenziale lineare del primo ordine]]: $V_0 = R \frac{dq(t)}{dt} + \frac{q(t)}{C}$ Riorganizzando, si ha: $\frac{dq(t)}{dt} + \frac{1}{RC} q(t) = \frac{V_0}{R}$ La soluzione di questa equazione differenziale, con la condizione iniziale $q(0)=0$ (condensatore inizialmente scarico), è: $q(t) = C V_0 \left(1 - e^{-\frac{t}{RC}}\right)$ Questa espressione mostra che la carica $q(t)$ sul condensatore aumenta esponenzialmente da $0$ fino a un valore asintotico $C V_0$. La **tensione ai capi del condensatore** $V_C(t)$ è data da: $ \color {green} V_C(t) = \frac{q(t)}{C} = V_0 \left(1 - e^{-\frac{t}{RC}}\right)$ Analogamente, la tensione $V_C(t)$ aumenta esponenzialmente da $0$ a $V_0$. La **corrente nel circuito** $i(t)$ è la derivata della carica rispetto al tempo: $ \color {green} i(t) = \frac{dq(t)}{dt} = \frac{V_0}{R} e^{-\frac{t}{RC}}$ La corrente $i(t)$ decresce esponenzialmente da un valore iniziale massimo $\frac{V_0}{R}$ a $0$. La **costante di tempo** del circuito RC è $\tau = RC$. *Essa rappresenta il tempo necessario affinché la tensione sul condensatore raggiunga circa il 63.2% del suo valore finale ($V_0$) durante la carica, o scenda al 36.8% del suo valore iniziale durante la scarica.* ##### Grafici di carica Consideriamo i seguenti valori per un esempio: * $V_0 = 12 \, \text{V}$ * $R = 2000 \, \Omega$ * $C = 0.0005 \, \text{F}$ La costante di tempo sarà $\tau = RC = 2000 \, \Omega \times 0.0005 \, \text{F} = 1 \, \text{s}$. ![[Pasted image 20250128165115.png]] * Dopo $t=\tau$ (1 secondo in questo esempio), la corrente scende a circa il 36.8% del valore iniziale ($i(0) = V_0/R = 12/2000 = 6 \, \text{mA}$). * Dopo $t=\tau$, la tensione sul condensatore raggiunge circa il 63.2% di $V_0$ ($0.632 \times 12 \, \text{V} \approx 7.58 \, \text{V}$). #### Processo di scarica (RC) --- Durante la scarica, il generatore di tensione viene rimosso e il condensatore, inizialmente carico con una tensione $V_0$, si scarica attraverso il resistore $R$. Applicando la legge di Kirchhoff delle tensioni, otteniamo: $V_C(t) + V_R(t) = 0 \quad \Rightarrow \quad V_C(t) = -V_R(t)$ dove: * $V_C(t) = \frac{q(t)}{C}$ * $V_R(t) = R \cdot i(t)$ * $i(t) = - \frac{dq(t)}{dt}$ --> *il segno negativo è spesso usato per indicare che la carica diminuisce* Sostituendo, otteniamo l'equazione differenziale: $\frac{q(t)}{C} = -R \frac{dq(t)}{dt}$ Riorganizzando: $\frac{dq(t)}{dt} + \frac{1}{RC} q(t) = 0$ La soluzione generale di questa equazione, con la condizione iniziale $q(0) = C V_0$ (condensatore inizialmente carico), è: $q(t) = C V_0 \cdot e^{-\frac{t}{RC}}$ Questa espressione mostra che la carica $q(t)$ sul condensatore decresce esponenzialmente da $C V_0$ a $0$. La **tensione ai capi del condensatore** $V_C(t)$ è data da: $\color {green} V_C(t) = \frac{q(t)}{C} = V_0 \cdot e^{-\frac{t}{RC}}$ La tensione $V_C(t)$ decresce esponenzialmente da $V_0$ a $0$. La **corrente nel circuito** $i(t)$ è la derivata della carica rispetto al tempo: $\color {green} i(t) = \frac{dq(t)}{dt} = -\frac{V_0}{R} e^{-\frac{t}{RC}}$ Il segno negativo indica che la corrente fluisce in direzione opposta rispetto alla carica durante la scarica. *La sua ampiezza decresce esponenzialmente da $\frac{V_0}{R}$ a $0$.* ![[Pasted image 20251128142356.png]] #### Circuito RC con generatore di tensione sinusoidale Se il circuito è alimentato da una tensione sinusoidale del tipo $ V = V_{M}\sin (wt+\varphi)$ allora il circuito viene risolto alla stessa maniera, ma questa volta bisogna utilizzare il [[Equazioni differenziali lineari del primo ordine#Metodo della somiglianza|metodo della somiglianza]] per risolvere l'equazione differenziale del primo ordine e trovare tensioni e correnti del circuito, in fase di carica e scarica. ### Collegamenti --- > [!info]- Risorse > ![[!Elettrotecnica#Risorse#Bibliografia]] > ![[!Elettrotecnica#Risorse#Approfondimenti]]