Un **circuito RL** è un circuito elettrico fondamentale costituito da una **resistenza (R)** e un'[[Bipoli lineari passivi|induttanza]] (L), collegate tipicamente in [[Collegamento in serie|serie]]. ![[Pasted image 20250829122158.png]] Tensione applicata $\mathrm{v}(\mathrm{t})=\mathrm{V}$ costante nel tempo - Posizione 1 carica - Posizione 2 scarica Quando si applica una tensione costante $V$ a un circuito RL in serie, la corrente $i(t)$ non raggiunge istantaneamente il suo valore di regime a causa dell'induttanza. La risposta del circuito è descritta dall'equazione differenziale ottenuta applicando la [[Leggi di Kirchhoff|legge di Kirchhoff delle tensioni]]: $V = R i(t) + L \frac{di(t)}{dt}$ #### Processo di Carica (o Inserzione) Consideriamo il circuito RL in serie alimentato da una sorgente di tensione continua (V). All'istante $t=0$, l'interruttore viene chiuso (posizione 1). Poiché la corrente attraverso un induttore non può variare istantaneamente, la condizione iniziale è $i(0) = 0$. L'equazione differenziale può essere riscritta come: $\frac{di(t)}{dt} + \frac{R}{L} i(t) = \frac{V}{L}$ La soluzione di questa equazione, con la condizione iniziale $i(0) = 0$, è: $\color {green} i(t) = \frac{V}{R}\left(1 - e^{-\frac{R}{L}t}\right)$ ==Questa espressione mostra che la corrente i(t) aumenta esponenzialmente da 0 fino a un valore di regime== $I_{max} = \frac{V}{R}$. Il parametro $\color {orange} \tau = \frac{L}{R}$ è la **costante di tempo** del circuito RL, essa determina la rapidità con cui la corrente si avvicina al suo valore di regime.  ==Un valore maggiore di tau indica una risposta più lenta.== Questo concetto è analogo a quanto avviene nel [[Circuito RC|circuito RC]], dove la costante di tempo è $\tau = RC$. ##### Esempio di Carica: Supponiamo un circuito RL con $R = 50 \, \Omega$, $L = 0.1 \, \text{H}$ e una sorgente $V = 10 \, \text{V}$. La costante di tempo è $\tau = \frac{L}{R} = \frac{0.1 \, \text{H}}{50 \, \Omega} = 0.002 \, \text{s} = 2 \, \text{ms}$. Il valore massimo della corrente è $I_{max} = \frac{V}{R} = \frac{10 \, \text{V}}{50 \, \Omega} = 0.2 \, \text{A}$. Dopo un tempo $t = \tau = 2 \, \text{ms}$, la corrente sarà: $i(\tau) = 0.2 \, \text{A} \left(1 - e^{-1}\right) \approx 0.2 \, \text{A} \times (1 - 0.368) \approx 0.2 \, \text{A} \times 0.632 = 0.1264 \, \text{A}$ Questo significa che dopo $2 \, \text{ms}$, la corrente ha raggiunto circa il 63.2% del suo valore finale. #### Processo di Scarica (o Disinserzione) Consideriamo un induttore inizialmente percorso da una corrente $I_0$ (ad esempio, il valore di regime $V/R$ raggiunto dopo la carica) e un resistore $R$. Se la sorgente di tensione viene rimossa e il circuito viene chiuso su se stesso attraverso il resistore (posizione 2), l'induttore inizia a scaricare l'energia immagazzinata. L'equazione differenziale per la corrente durante la scarica (con $V=0$) è: $0 = R i(t) + L \frac{di(t)}{dt}$ Riorganizzando: $\frac{di(t)}{dt} + \frac{R}{L} i(t) = 0$ La soluzione di questa equazione, con la condizione iniziale $i(0) = I_0$, è: $i(t) = I_0 \cdot e^{-\frac{R}{L}t}$ Questa espressione mostra che la corrente $i(t)$ decresce esponenzialmente da $I_0$ a $0$ con la stessa costante di tempo $\tau = \frac{L}{R}$.  #### Circuito RL con generatore di tensione sinusoidale Consideriamo lo stesso circuito RL in serie, ma questa volta alimentato da un generatore di tensione sinusoidale $e(t) = E_M \sin(\omega t)$, dove $E_M$ è l'ampiezza massima e $\omega$ è la pulsazione. L'equazione differenziale che descrive la corrente $i(t)$ è: $E_M \sin(\omega t) = R i(t) + L \frac{di(t)}{dt}$ La soluzione completa $i(t)$ è la somma di una soluzione generale (omogenea) $i_g(t)$ e una soluzione particolare $i_p(t)$: $i(t) = i_g(t) + i_p(t)$ La soluzione generale, che rappresenta la risposta transitoria, è: $i_g(t) = k e^{\alpha t} \quad \text{con} \quad \alpha = -\frac{R}{L}$ La soluzione particolare, che descrive il regime sinusoidale, avrà la stessa pulsazione della sorgente ma con ampiezza $I_M$ e sfasamento $\varphi$ rispetto alla tensione: $i_p(t) = I_M \sin(\omega t - \varphi)$ Sostituendo $i_p(t)$ nell'equazione differenziale e risolvendo per $I_M$ e $\varphi$, si ottiene: $\tan(\varphi) = \frac{\omega L}{R}$ E l'ampiezza della corrente: $\color {green} I_M = \frac{E_M}{\sqrt{R^2 + (\omega L)^2}}=\frac{E_M}{Z}$ La quantità $Z = \sqrt{R^2 + (\omega L)^2}$ è l'[[Impedenza e ammettenza|impedenza]] del circuito RL in serie. La **soluzione completa** è quindi $ \color {green} i(t)=i_{g}(t)+i_{p}(t)=k e^{-\frac{R}{L} t}+I_{M} \sin (\omega t-\varphi) $ *Per trovare il valore del coefficiente k si impone la condizione iniziale* *$i(0)=0$ :* $ k+I_{M} \sin (-\varphi)=0 \quad \rightarrow \quad k=-I_{M} \sin (-\varphi) $ ### Collegamenti --- > [!info]- Risorse > ![[!Elettrotecnica#Risorse#Bibliografia]] > ![[!Elettrotecnica#Risorse#Approfondimenti]]