Il **circuito RLC** è un circuito elettrico composto da una resistenza (R), un’induttanza (L) e un condensatore (C), collegati in serie o in parallelo. ![[Pasted image 20251003143840.png]] #### Analisi del Transitorio di Carica All'istante $t=0$, l'interruttore viene spostato in posizione 1, collegando il circuito alla sorgente di tensione continua $V$. Assumiamo che il condensatore e l'induttore siano inizialmente scarichi, quindi le condizioni iniziali sono: * $v_c(0^-) = 0$ (tensione sul condensatore) * $i_L(0^-) = i_c(0^-) = 0$ (corrente nell'induttore e nel condensatore) L'equazione differenziale che descrive la tensione sul condensatore $v_c(t)$ si ottiene mettendo insieme le equazioni costitutive e la [[Leggi di Kirchhoff|legge di Kirchhoff delle tensioni]]: $V(t) = R i(t) + L \frac{di(t)}{dt} + \frac{1}{C}\int i(t)dt$ Per ottenere un'[[Equazioni differenziali lineari del secondo ordine|equazione differenziale del secondo ordine]] in termini di tensione sul condensatore $v_c(t)$, ricordiamo che $i(t) = C \frac{dv_c(t)}{dt}$ e $\frac{di(t)}{dt} = C \frac{d^2v_c(t)}{dt^2}$. Sostituendo, si ottiene: $L C \frac{d^2v_c(t)}{dt^2} + R C \frac{dv_c(t)}{dt} + v_c(t) = V(t)$ *La soluzione completa $v_c(t)$ è la somma della soluzione generale (omogenea) $v_{c_g}(t)$ e della soluzione particolare $v_{c_p}(t)$.* La **soluzione particolare,** che rappresenta il regime stazionario (a $t \to \infty$), è $v_{c_p}(t) = V$ *(il condensatore si comporta come un circuito aperto).* La **soluzione generale** $v_{c_g}(t)$ dipende dalle radici dell'equazione caratteristica $L C \alpha^2 + R C \alpha + 1 = 0$ Le radici sono: $\alpha_{1,2} = -\frac{R}{2L} \pm \sqrt{\left(\frac{R}{2L}\right)^2 - \frac{1}{LC}}$ Possiamo definire: * **Costante di smorzamento** $\alpha_s = \frac{R}{2L}$ * **Pulsazione caratteristica** $\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ Le radici diventano quindi: $\alpha_{1,2} = -\alpha_s \pm \sqrt{\alpha_s^2 - \omega_0^2}$ Il comportamento del circuito è determinato dal discriminante $\Delta = \alpha_s^2 - \omega_0^2$: * **Sovra-smorzato** ($\Delta > 0$ o $\alpha_s > \omega_0$): due radici reali e distinte. La risposta è un decadimento esponenziale senza oscillazioni. * **Criticamente smorzato** ($\Delta = 0$ o $\alpha_s = \omega_0$): due radici reali e coincidenti. La risposta è il decadimento più rapido possibile senza oscillazioni. * **Sotto-smorzato** ($\Delta < 0$ o $\alpha_s < \omega_0$): due radici complesse e coniugate. La risposta è un'oscillazione smorzata. Gli andamenti delle espressioni ricavate per la risposta del circuito variano poi a seconda del fatto che le radici $\alpha_1$ ed $\alpha_2$ siano reali o complesse coniugate. Nel primo caso si ha: $ \frac{\mathrm{R}^2}{4 \mathrm{~L}^2} \geq \frac{1}{\mathrm{LC}} $ ed in considerazione del fatto che R, L e C sono parametri positivi, la $\mathrm{i}(\mathrm{t})$ e la $\mathrm{v}(\mathrm{t})$ hanno un andamento aperiodico. In particolare, nel caso $\frac{\mathrm{R}^2}{4 \mathrm{~L}^2}=\frac{1}{\mathrm{LC}}$ si ha: $ \alpha_1=\alpha_2=-\frac{\mathrm{R}}{2 \mathrm{~L}} $ Se le radici $\alpha_1$ ed $\alpha_2$ sono complesse coniugate si ha invece: $ \begin{gathered} \frac{\mathrm{R}^2}{4 \mathrm{~L}^2}<\frac{1}{\mathrm{LC}} \\ \alpha_1=-\frac{\mathrm{R}}{2 \mathrm{~L}}+\mathrm{j} \sqrt{\frac{1}{\mathrm{LC}}-\frac{\mathrm{R}^2}{4 \mathrm{~L}^2}}=\alpha+\mathrm{j} \beta \end{gathered} $ $ \alpha_2=-\frac{\mathrm{R}}{2 \mathrm{~L}}-\mathrm{j} \sqrt{\frac{1}{\mathrm{LC}}-\frac{\mathrm{R}^2}{4 \mathrm{~L}^2}}=\alpha-\mathrm{j} \beta $ e, dopo opportuni passaggi, in considerazione che $e^{\alpha+j \beta}=e^a(\cos \beta+j \operatorname{sen} \beta)$ si ottiene: $ \begin{gathered} v_c=V\left[I+e^{\alpha t}\left(\frac{\alpha}{\beta} \operatorname{sen} \beta t-\cos \beta t\right)\right] \\ i_c=\frac{V}{\beta L} e^{\alpha t} \operatorname{sen} \beta t \end{gathered} $ #### Analisi del Transitorio di Scarica All'istante $t=0$, l'interruttore viene spostato in posizione 2, disconnettendo la sorgente di tensione. Assumiamo che il condensatore sia inizialmente carico alla tensione $V$ (raggiunta dopo un lungo periodo di carica) e che la corrente nell'induttore sia nulla (poiché il circuito era a regime con sorgente continua). Le condizioni iniziali sono: * $v_c(0^-) = V$ * $i_L(0^-) = i_c(0^-) = 0$ L'equazione differenziale che descrive la tensione sul condensatore $v_c(t)$ è l'equazione omogenea: $L \frac{di_{sc}}{d t} + R i_{sc} + v_c = L C \frac{d^2 v_c}{d t^2} + RC \frac{d v_c}{d t} + v_c = 0$ La soluzione $v_c(t)$ coincide con la soluzione generale $v_{c_g}(t)$ e dipende dalle radici dell'equazione caratteristica. Seguendo un procedimento analogo a quanto visto per la fase di carica si ottiene: $ \begin{gathered} \mathrm{v}_{\mathrm{c}}=\mathrm{V} \frac{\alpha_1 \mathrm{e}^{\alpha_2 \mathrm{t}}-\alpha_2 \mathrm{e}^{\alpha_1 \mathrm{t}}}{\alpha_1-\alpha_2} \\ \mathrm{i}_{\mathrm{sc}}=\frac{\mathrm{V} \alpha_1 \alpha_2 \mathrm{C}}{\alpha_1-\alpha_2}\left(\mathrm{e}^{\alpha_2 \mathrm{t}}-\mathrm{e}^{\alpha_1 \mathrm{t}}\right) \end{gathered} $ Espressioni che, in caso di radici complesse coniugate, possono essere scritte in forma più conveniente: $\begin{gathered} v_c=V e^{s t}\left(\cos \beta t-\frac{\alpha}{\beta} \operatorname{sen} \beta t\right) \\ i_{s c}=-\frac{V}{\beta L} e^{s t} \operatorname{sen} \beta t \end{gathered}$ #### Circuito RC con generatore di tensione sinusoidale Se il circuito è alimentato da una tensione sinusoidale del tipo $ V = V_{M}\sin (wt+\varphi)$ allora il circuito viene risolto alla stessa maniera, ma questa volta bisogna utilizzare il [[Equazioni differenziali lineari del secondo ordine|metodo della somiglianza]] per termini noti del tipo sinusoidale per risolvere l'equazione differenziale del secondo ordine e trovare tensioni e correnti del circuito, in fase di carica e scarica. ### Collegamenti --- > [!info]- Risorse > ![[!Elettrotecnica#Risorse#Bibliografia]] > ![[!Elettrotecnica#Risorse#Approfondimenti]]