I fasori sono rappresentazioni vettoriali di [[Grandezze sinusoidali]] nel piano dei [[numeri complessi]]. Essi permettono semplificare l'analisi dei circuiti in regime sinusoidale, trasformando le [[equazioni differenziali]] del **dominio del tempo** in equazioni algebriche lineari nel **dominio della frequenza.** ![[Phase_shifter_using_IQ_modulator.gif]] *[Phase_shifter_using_IQ_modulator.gif](https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Phase_shifter_using_IQ_modulator.gif), Vigneshdm1990, [CC BY-SA 4.0](https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0), via Wikimedia Commons* ### Rappresentazione analitica e geometrica Un **fasore** è un **numero complesso** che racchiude le informazioni di ampiezza e fase di una sinusoide, omettendo la dipendenza temporale esplicita e la pulsazione $\omega$, assunte come costanti per l'intero sistema. ![[Pasted image 20250903121540.png]] #### Definizione matematica Data una grandezza sinusoidale tempo-variante $a(t) = A_{max} \sin(\omega t + \psi)$, la sua corrispondenza nel dominio complesso è definita dalla [[Formule di Eulero|formula di Eulero]]: $ a(t) = \text{Im}\{A_{max} e^{j(\omega t + \psi)}\} = \text{Im}\{A_{max} e^{j\psi} \cdot e^{j\omega t}\} $ Il fasore associato $\dot{A}$ è il termine indipendente dal tempo: $\color {orange} \dot{A} = A_{max} e^{j\psi} = A_{max} (\cos\psi + j\sin\psi) =\alpha + j\beta$ dove: - $A_{max}= \sqrt{\alpha^2 + \beta^2}$ è il modulo (ampiezza massima) del fasore - $\psi = \operatorname{arctg}\left(\frac{\beta}{\alpha}\right)$ è l'argomento (fase iniziale) del fasore - $j$ è l'unità immaginaria. In ambito ingegneristico, è prassi comune utilizzare il [[Grandezze sinusoidali|valore efficace]] per definire il modulo del fasore: $\dot{A}_{eff} = \frac{A_{max}}{\sqrt{2}} e^{j\psi}$ Una grandezza fasoriale può essere rappresentata graficamente come somma vettoriale della sua parte reale con la parte immaginaria, tramite la sua **rappresentazione triangolare.** ### Operazioni nel dominio fasoriale L'efficacia dei fasori risiede nella semplificazione delle operazioni matematiche necessarie per risolvere le [[Leggi di Kirchhoff]]. #### Somma e sottrazione La combinazione lineare di grandezze sinusoidali isofrequenziali produce una sinusoide alla medesima frequenza. Nel dominio dei fasori, questa operazione si riduce alla somma vettoriale (o algebrica tra parti reali e immaginarie): $ \color {green} \dot{I}_S = \dot{I}_1 \pm \dot{I}_2 = (\alpha_1 \pm \alpha_2) + j(\beta_1 \pm \beta_2) $ #### Derivazione e integrazione Eseguendo le operazioni di [[derivata]] e [[Integrale alla Riemann|integrale]] nel dominio del tempo, e sostituendo con i fasori, si dimostra che queste vengono sostituite da semplici prodotti o divisioni per l'operatore $j\omega$. **Derivazione**: $\color {green} \frac{d}{dt} a(t) \leftrightarrow \frac {d\dot A}{dt}=j\omega \dot{A}$ La derivazione introduce uno sfasamento in anticipo di $90^\circ$ *(rappresentato da j)* e scala il modulo per $\omega$. **Integrazione**: $\color {green} \int a(t) dt \leftrightarrow \int \dot A\cdot dt= \frac{\dot{A}}{j\omega} = -\frac{j}{\omega} \dot{A}$ L'integrazione introduce uno sfasamento in ritardo di $90^\circ$ *(rappresentato da -j)* e scala il modulo per $1/\omega$. Queste proprietà sono fondamentali per definire il concetto di [[impedenza e ammettenza]], dove il legame tensione-corrente per induttori ($V = j\omega L I$) e condensatori ($V = \frac{I}{j\omega C}$) diventa puramente algebrico. #### Prodotto e quoziente Sebbene il prodotto di due sinusoidi non generi una grandezza isofrequenziale, il prodotto tra un fasore e un operatore complesso (come l'impedenza) è un'operazione standard. Per queste operazioni è preferibile utilizzare la forma polare: $ \color {green} \dot{V} = \dot{Z} \cdot \dot{I} = (Z e^{j\phi}) \cdot (I e^{j\psi}) = ZI e^{j(\phi + \psi)} $ $ \color {green} \dot{I} = \frac {\dot{V}} {\dot{Z}} = \frac {V e^{j\phi}} {Z e^{j\psi}} = \frac VZ e^{j(\phi - \psi)} $ ### Esempi ed esercizi Immagina una grandezza sinusoidale come un vettore che ruota in senso antiorario su un piano con velocità angolare $\omega$. Se spegnessi la luce e scattassi una fotografia nell'istante $t=0$, la posizione della freccia che vedresti nella foto è il **fasore**. La lunghezza della freccia è l'ampiezza, e l'angolo rispetto all'asse orizzontale è la fase iniziale. Finché tutti i vettori nel circuito ruotano alla stessa velocità ($\omega$), le loro posizioni relative (angoli tra loro) non cambiano mai; quindi, possiamo studiare la "foto" invece del movimento continuo. ##### Domande di teoria - [ ] Cosa sono i fasori, come si rappresentano e quali sono i vantaggi nell'utilizzare i fasori in analisi circuito AC? - [ ] Spiega perché la rappresentazione fasoriale è applicabile solo a sistemi isofrequenziali. - [ ] Dimostra matematicamente perché la derivata temporale di una sinusoide corrisponde alla moltiplicazione per $j\omega$ nel dominio complesso. - [ ] Qual è la differenza tra la rappresentazione in forma rettangolare e quella in forma polare? In quali calcoli conviene l'una rispetto all'altra? *Consultare le risorse selezionate in fondo alla nota per soluzioni e approfondimenti.* ##### esercizi **Risolvere i seguenti esempi ed esercizi:** - [ ] Conversione di grandezze sinusoidali in fasoriali - [ ] Operazioni tra fasori: somma e sottrazione, prodotto e quoziente, derivazione e integrazione *Consultare le risorse selezionate in fondo alla nota per soluzioni e approfondimenti.* --- > [!info]- Resources > ![[!Elettrotecnica#Risorse#Bibliografia]] > ![[!Elettrotecnica#Risorse#Approfondimenti]] --- > [!example] Playlist > ![[!Elettrotecnica#Risorse#Fasori]]