Una grandezza sinusoidale è una [[Grandezze alternative|grandezza alternativa]] che evolve nel tempo secondo una legge armonica. Una grandezza di questo tipo permette di semplificare l'analisi dei circuiti complessi attraverso l'uso dei [[Fasori|fasori]]. L'andamento temporale di una **corrente sinusoidale** è descritto dalla funzione: $ i(t) = I_{max} \sin(\omega t + \psi) $ Per definire compiutamente la grandezza, è necessario identificare tre parametri indipendenti: - **Ampiezza ($I_{max}$)**: Rappresenta il valore massimo in un periodo - è legata al [[Grandezze periodiche|valore efficace]] dalla relazione $I = I_{max}/\sqrt{2}$ - **Pulsazione ($\omega$)**: Indica la velocità angolare del vettore rotante associato, misurata in $rad/s$. - si relaziona alla frequenza $f$ e al periodo $T$ tramite $\omega = 2\pi f = \frac{2\pi}{T}$. - **Angolo di fase ($\psi$)**: Determina il valore della funzione all'istante iniziale $t=0$ - è legata alla **fase temporale** $\mathrm{t}_{\mathrm{f}}$ rispetto all'origine comune dei tempi ### Parametri caratteristici La natura armonica della funzione impone rapporti costanti tra i suoi valori sintetici, ricavabili mediante il calcolo [[!Analisi|integrale]]. #### Valore Medio nel Semiperiodo ($I_m$) Rappresenta la media dei valori istantanei calcolata sull'intervallo in cui la funzione è positiva: $ I_m = \frac{2}{T} \int_{0}^{T/2} I_{max} \sin(\omega t) dt = \frac{2}{\pi} I_{max} \approx 0,637 I_{max} $ #### Valore Efficace ($I$) Il valore efficace (RMS) definisce l'equivalenza energetica con una corrente continua. Si ottiene risolvendo l'integrale del quadrato della funzione: $ I = \sqrt{\frac{1}{T} \int_{0}^{T} I_{max}^2 \sin^2(\omega t) dt} = \frac{I_{max}}{\sqrt{2}} \approx 0,707 I_{max} $ Per la risoluzione, si utilizza l'identità trigonometrica $\sin^2(x) = \frac{1-\cos(2x)}{2}$, che evidenzia come il quadrato di una sinusoide sia composto da una parte costante e una componente a frequenza doppia. ### Analisi della Fase e Sfasamento La posizione della sinusoide rispetto all'origine dei tempi è definita dalla **fase temporale** $t_f$, ovvero l'istante in cui la grandezza passa per lo zero crescendo. L'angolo di fase si ricava come $\color {orange}\psi = -\omega t_f$ - **Anticipo**: Se la sinusoide attraversa lo zero prima dell'origine ($\psi > 0$). - **Ritardo**: Se l'attraversamento avviene dopo l'origine ($\psi < 0$). Dati due segnali isofrequenziali, si definisce **sfasamento** $\varphi$ la differenza algebrica tra i rispettivi angoli di fase: $ \varphi = \psi_2 - \psi_1 $ ### Esempi ed esercizi Immagina una ruota panoramica che gira a velocità costante in senso orario. Se tracci l'altezza ($r sin\theta$) di una cabina rispetto al centro della circonferenza mentre il tempo scorre, otterrai esattamente una sinusoide. 1. Il raggio della ruota è l'**ampiezza** ($I_{max}$). 2. La velocità con cui la ruota gira è la **pulsazione** ($\omega$). 3. Il punto in cui si trova la cabina quando fai partire il cronometro è la **fase** ($\psi$). Se osservi due cabine diverse, la distanza angolare fissa tra loro durante la rotazione rappresenta lo **sfasamento**. ##### Domande di teoria **Rispondere alle seguenti domande specifiche:** - [ ] Ricava le relazioni tra i parametri dipendenti necessari per identificare una grandezza sinusoidale - [ ] Dimostra il valore del valore efficace di una sinusoide *Consultare le risorse selezionate in fondo alla nota per soluzioni e approfondimenti.* ### Collegamenti --- > [!info]- Risorse > ![[!Elettrotecnica#Risorse#Bibliografia]] > ![[!Elettrotecnica#Risorse#Approfondimenti]]