In un [[Sistemi trifase|sistema trifase]] simmetrico ed equilibrato, la potenza istantanea totale erogata o assorbita risulta rigorosamente costante nel tempo. Questa proprietà fondamentale garantisce un flusso di energia uniforme, ottimizzando il dimensionamento dei conduttori e annullando le coppie pulsanti nelle macchine elettriche rotanti. ### Potenza Istantanea Analizzando un sistema trifase simmetrico ed equilibrato, la **[[Potenza elettrica|potenza istantanea erogata]]** da ciascun generatore coincide con quella assorbita dalla rispettiva fase del carico. Indicando con $E$ il valore efficace della tensione di fase, con $I_\ell$ il valore efficace della corrente di linea e con $\varphi$ lo sfasamento tra tensione e corrente di fase, le potenze istantanee delle tre fasi sono: $ p_1(t) = e_1 i_1 = E I_\ell \cos \varphi - E I_\ell \cos(2\omega t - \varphi) $ $ p_2(t) = e_2 i_2 = E I_\ell \cos \varphi - E I_\ell \cos\left(2\omega t - \frac{4}{3}\pi - \varphi\right) $ $ p_3(t) = e_3 i_3 = E I_\ell \cos \varphi - E I_\ell \cos\left(2\omega t - \frac{2}{3}\pi - \varphi\right) $ Sommando i tre contributi, i termini fluttuanti a frequenza doppia ($2\omega$) si elidono reciprocamente. Per il **principio di conservazione dell'energia**, la potenza istantanea totale $p(t)$ risulta quindi un **valore costante** e coincide con la **[[Potenza elettrica|potenza attiva totale]]** $P$ $ \color {green} p(t) = p_1(t) + p_2(t) + p_3(t) = 3 E I_\ell \cos \varphi = P $ Applicando il [[Teorema di Boucherot]], è possibile estendere il calcolo additivo anche alla potenza reattiva totale $Q$, definita come la somma delle potenze reattive delle singole fasi: $ \color {green} Q = Q_1 + Q_2 + Q_3 = 3 E I_\ell \sin \varphi $ #### Misura della Potenza Nella pratica ingegneristica, i punti accessibili per le misurazioni strumentali sono i conduttori di linea. Risulta pertanto indispensabile esprimere le potenze in funzione della tensione concatenata $V$ (misurata tra due fasi) e della corrente di linea $I_\ell$. Ricordando la relazione fondamentale per i [[Sistemi trifase|sistemi simmetrici]] $V = \sqrt{3}E$, le equazioni della potenza attiva e reattiva assumono la forma standard: $ \color {green}P = \sqrt{3} V I_\ell \cos \varphi $ $ \color {green} Q = \sqrt{3} V I_\ell \sin \varphi $ *Nota bene: l'angolo $\varphi$ rappresenta sempre lo sfasamento tra la tensione di fase $E$ e la corrente di linea $I_\ell$, non l'angolo rispetto alla tensione concatenata $V$.* La **potenza apparente totale** $P_A$ (spesso indicata con $S$), che dimensiona i [[Bipoli elettrici]] e le macchine, si calcola in analogia ai sistemi monofase: $ P_A = \sqrt{P^2 + Q^2} = 3 E I_\ell = \sqrt{3} V I_\ell $ Queste relazioni permettono di estendere il concetto di **triangolo delle potenze** e di **fattore di potenza** ($\cos \varphi$) anche ai sistemi trifase. ![[Pasted image 20251202100520.png]] #### Potenza Complessa Per un'analisi avanzata e completa nel dominio dei [[Fasori]], la potenza di un sistema trifase simmetrico ed equilibrato può essere espressa in forma compatta tramite la potenza complessa $\dot{P}$ (o $\bar{S}$): $ \color {green} \dot{P} = 3 \dot{E}_1 \breve{I}_{\ell 1} = \sqrt{3} \dot{V}_{12} \breve{I}_{\ell 1} e^{-j\frac{\pi}{6}} $ In questa formulazione, $\dot{E}_1$ e $\dot{V}_{12}$ sono i fasori base rispettivamente delle tensioni di fase e concatenate, mentre $\breve{I}_{\ell 1}$ rappresenta il complesso coniugato del fasore della corrente di linea della prima fase. Il termine esponenziale $e^{-j\frac{\pi}{6}}$ compensa lo sfasamento intrinseco di $30^\circ$ tra la tensione di fase e la tensione concatenata in una terna a senso ciclico diretto. La potenza complessa è il fasore della potenza, composto da due termini, uno reale (potenza attiva), e uno immaginario (potenza reattiva), per cui può essere scritto come $ \color {orange} \dot P = P + jQ $ ### Approfondimento Si consideri un motore asincrono trifase alimentato da una rete con tensione concatenata $V = 400 \text{ V}$. Se il motore assorbe una corrente di linea $I_\ell = 15 \text{ A}$ con un fattore di potenza $\cos \varphi = 0.85$ (in ritardo), la potenza attiva assorbita sarà $P = \sqrt{3} \cdot 400 \cdot 15 \cdot 0.85 \approx 8833 \text{ W}$ (circa $8.8 \text{ kW}$). La potenza apparente richiesta alla rete sarà invece $P_A = \sqrt{3} \cdot 400 \cdot 15 \approx 10392 \text{ VA}$. ##### Domande di teoria - [ ] Quale è la caratteristica della potenza nei sistemi trifase? - [ ] Dimostra matematicamente perché la somma dei termini fluttuanti a frequenza $2\omega$ nelle equazioni della potenza istantanea trifase si annulla. - [ ] Qual è il significato fisico del fattore di potenza in un sistema trifase e perché è economicamente vantaggioso mantenerlo prossimo a $1$? - [ ] Come si modifica l'espressione della potenza complessa se la terna di tensioni presenta un senso ciclico inverso? ##### Esercizi - [ ] Un carico trifase equilibrato assorbe una potenza attiva $P = 12 \text{ kW}$ e una potenza reattiva $Q = 9 \text{ kVAr}$ da una linea a $400 \text{ V}$. Calcola il fattore di potenza del carico e il valore efficace della corrente di linea $I_\ell$. - [ ] Dato un generatore trifase che eroga una potenza apparente di $50 \text{ kVA}$ con $\cos \varphi = 0.9$ in anticipo, determina le potenze attiva e reattiva erogate, specificando il segno di quest'ultima. --- > [!info]- Resources > ![[!Elettrotecnica#Risorse#Bibliografia]] > ![[!Elettrotecnica#Risorse#Approfondimenti]] --- > [!example] Playlist > ![[!Elettrotecnica#Risorse#Potenza nei sistemi trifase]]