La rappresentazione simbolica permette di analizzare i [[Bipoli lineari passivi|bipoli lineari passivi]] in regime sinusoidale permanente, sostituendo le equazioni integro-differenziali con relazioni algebriche tra [[Fasori]]. Questo approccio è valido una volta esaurito il transitorio iniziale, permette quindi di trovare solo una **soluzione a regime**, la quale però è di solito quella di maggior interesse pratico. ### Relazioni costitutive nel dominio della frequenza L'applicazione di una tensione sinusoidale $v(t) = V_{max} \sin(\omega t + \phi_v)$ a un bipolo lineare determina, a regime, una corrente $i(t) = I_{max} \sin(\omega t + \phi_i)$. Grazie alle proprietà delle [[Fasori#Operazioni nel dominio fasoriale|operazioni nel dominio dei fasori]] si ricavano le relazioni in tabella | Bipolo | Dominio del tempo | Dominio della frequenza | Relazione di fase | | :--------------- | :-------------------------- | :------------------------------------------------------------------------------- | :----------------------------------------------- | | **Resistore** | $v(t) = R \cdot i(t)$ | $\color {green}\mathrm{\dot V}=\mathrm{R} \mathrm{\dot I}$ | In fase ($\phi_v = \phi_i$) | | **Induttore** | $v(t) = L \frac{di(t)}{dt}$ | $\color {green} \dot{\mathrm{V}}=\mathrm{j} \omega \mathrm{~L} \dot{\mathrm{I}}$ | $\dot{V}$ in anticipo di $90^\circ$ su $\dot{I}$ | | **Condensatore** | $i(t) = C \frac{dv(t)}{dt}$ | $\color {green}\dot{V}=\frac{1}{j\omega C} \dot{I} =-\frac{j}{\omega C} \dot{I}$ | $\dot{V}$ in ritardo di $90^\circ$ su $\dot{I}$ | #### Analisi del comportamento reattivo - **Resistore (R)**: Il fasore della tensione e quello della corrente sono paralleli nel piano di Gauss. Non vi è accumulo di energia, ma solo dissipazione per effetto Joule. - **Induttore (L)**: La presenza dell'operatore $j$ (che equivale a un rotore di $+90^\circ$) indica che la tensione "guida" la corrente. L'induttore si oppone alle variazioni di corrente, accumulando energia nel campo magnetico. - **Condensatore (C)**: L'operatore $1/j = -j$ indica una rotazione di $-90^\circ$. La corrente deve scorrere per caricare le armature prima che la tensione possa variare; pertanto, la corrente è in anticipo sulla tensione. ### Impedenza simbolica Dalle relazioni sopra esposte si definisce l'[[Impedenza e ammettenza|impedenza]] $\dot{Z}$ come il rapporto tra il fasore della tensione e il fasore della corrente: $ \dot{Z} = \frac{\dot{V}}{\dot{I}} $ - Per il resistore: $\dot{Z}_R = R$ - Per l'induttore: $\dot{Z}_L = j\omega L$ - Per il condensatore: $\dot{Z}_C = \frac{1}{j\omega C} = -\frac{j}{\omega C}$ --- > [!info]- Resources > ![[!Elettrotecnica#Risorse#Bibliografia]] > ![[!Elettrotecnica#Risorse#Approfondimenti]] --- > [!example] Playlist > ![[!Elettrotecnica#Risorse#Macchine Elettriche]]