La nozione di [[Doppi bipoli passivi equivalenti|doppio bipolo]] può essere estesa a reti più complesse, definite come **reti a n-porte**. Una rete a n-porte è un circuito elettrico con $n$ coppie di terminali (o porte) attraverso le quali può interagire con il resto del circuito.
![[Pasted image 20250915112722.png]]
Si dice in generale che **due reti a n-porte sono equivalenti** tra loro se e solo **se, applicando le stesse tensioni** $\mathrm{v}_1, \mathrm{v}_2 \ldots \mathrm{v}_{\mathrm{n}}$ esse **sono percorse dalle stesse correnti** $\mathrm{i}_1, \mathrm{i}_2 \ldots \mathrm{i}_{\mathrm{n}}$, e viceversa. *Questa equivalenza implica che le due reti presentano lo stesso comportamento elettrico ai loro terminali esterni.*
#### Collegamento a stella e triangolo
Due configurazioni di particolare interesse per l'analisi dei [[Sistemi trifase|sistemi trifase]] e dei [[Reti elettriche a parametri concentrati|circuiti a parametri concentrati]] in [[AC Reti elettriche in corrente alternata|regime sinusoidale]] sono quelle ottenute connettendo tre impedenze a **stella** (o Y) o a **triangolo** (o Δ).
*Queste sono esempi di reti a tre porte.*
| Configurazione a Stella (Y) | Configurazione a Triangolo (Δ) |
| ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- | ------------------------------------ |
|  | ![[Pasted image 20250915113717.png]] |
Seguendo il [[Bipoli equivalenti|criterio di equivalenza]] ed applicando uno alla volta i generatori di tensione rappresentati dai fasori $\dot{\mathrm{V}}_{12}, \dot{\mathrm{~V}}_{23}, \mathrm{~V}_{31}$ si ottengono per la **rete a stella** le relazioni:
$
\begin{align*}
& \dot{\mathrm{V}}_{12}=\dot{\mathrm{I}}_{12}\left(\overline{\mathrm{Z}}_{1}+\overline{\mathrm{Z}}_{2}\right) \\
& \dot{\mathrm{V}}_{23}=\dot{\mathrm{I}}_{23}\left(\overline{\mathrm{Z}}_{2}+\overline{\mathrm{Z}}_{3}\right) \\
& \dot{\mathrm{V}}_{31}=\dot{\mathrm{I}}_{31}\left(\overline{\mathrm{Z}}_{3}+\overline{\mathrm{Z}}_{1}\right)
\end{align*}
$
e per la **rete a triangolo**, ricordando la [[Bipoli passivi equivalenti|regola per il parallelo di due bipoli]]:
$
\begin{align*}
& \dot{V}_{12}=\dot{I}_{12} \frac{\bar{Z}_{12}\left(\bar{Z}_{23}+\bar{Z}_{31}\right)}{\bar{Z}_{12}+\bar{Z}_{23}+\bar{Z}_{31}} \\
& \dot{V}_{23}=\dot{I}_{23} \frac{\bar{Z}_{23}\left(\bar{Z}_{12}+\bar{Z}_{31}\right)}{\bar{Z}_{12}+\bar{Z}_{23}+\bar{Z}_{31}} \\
&
\dot{V}_{31}=\dot{I}_{31} \frac{\bar{Z}_{31}\left(\bar{Z}_{12}+\bar{Z}_{23}\right)}{\bar{Z}_{12}+\bar{Z}_{23}+\bar{Z}_{31}}
\end{align*}
$
#### Passaggio stella-triangolo
==Uguagliando le relazioni precedenti si ottengono le **relazioni di passaggio da una rete a tre porte a stella ad una rete a tre porte a triangolo:**==
$
\begin{align*}
& \bar{Z}_{1}=\frac{\bar{Z}_{12} \bar{Z}_{31}}{\bar{Z}_{12}+\bar{Z}_{23}+\bar{Z}_{31}} \\
& \bar{Z}_{2}=\frac{\bar{Z}_{23} \bar{Z}_{12}}{\bar{Z}_{12}+\bar{Z}_{23}+\bar{Z}_{31}} \\
& \bar{Z}_{3}=\frac{\bar{Z}_{31} \bar{Z}_{23}}{\bar{Z}_{12}+\bar{Z}_{23}+\bar{Z}_{31}}
\end{align*}
$
Viceversa un **tripolo costituito da tre impedenze $\bar{Z}_{12}, \bar{Z}_{23}, \bar{Z}_{31}$ collegate a triangolo è equivalente ad un tripolo costituito da tre impedenze $\overline{\mathrm{Z}}_{1}, \overline{\mathrm{Z}}_{2}, \overline{\mathrm{Z}}_{3}$ collegate a stella**, e che sono univocamente determinate dalle:
$
\begin{gather*}
\bar{Z}_{12}=\bar{Z}_{1} \bar{Z}_{2}\left(\frac{1}{\bar{Z}_{1}}+\frac{1}{\bar{Z}_{2}}+\frac{1}{\bar{Z}_{3}}\right) \\
\bar{Z}_{23}=\bar{Z}_{2} \bar{Z}_{3}\left(\frac{1}{\bar{Z}_{1}}+\frac{1}{\bar{Z}_{2}}+\frac{1}{\bar{Z}_{3}}\right) \\
\bar{Z}_{31}=\bar{Z}_{3} \bar{Z}_{1}\left(\frac{1}{\bar{Z}_{1}}+\frac{1}{\bar{Z}_{2}}+\frac{1}{\bar{Z}_{3}}\right)
\end{gather*}
$
==Se le **tre impedenze collegate a stella e le tre impedenze collegate a triangolo sono rispettivamente uguali tra loro** le relazioni si semplificano notevolmente e si ottiene:==
$ \color {green}
\mathrm{Z}_{\Delta}=3 \mathrm{Z_Y}
$
con
$
\begin{equation*}
\bar{Z}_{1}=\bar{Z}_{2}=\bar{Z}_{3}=\bar{Z}_{Y} \text { e } \bar{Z}_{12}=\bar{Z}_{23}=\bar{Z}_{31}=\bar{Z}_{\Delta}
\end{equation*}
$
##### Domande di teoria
**Rispondere alle seguenti domande specifiche:**
- [ ] Disegna le configurazioni a stella e triangolo e ricava le relazioni principali di tensione e corrente utilizzando le leggi di Kirchhoff
- [ ] Ricava le relazioni di passaggio da stella a triangolo
*Consultare le risorse selezionate in fondo alla nota per soluzioni e approfondimenti.*
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