I [[Sistemi trifase]] rappresentano lo standard ingegneristico per la produzione, la trasmissione e l'utilizzazione dell'energia elettrica su media e larga scala. Rispetto ai sistemi monofase equivalenti, garantiscono un notevole risparmio di materiale conduttore e una drastica riduzione delle perdite di linea a parità di potenza trasmessa.
### Architettura dei sistemi trifase
Un sistema di generazione trifase è composto da **tre generatori, tre linee di trasmissione e tre utilizzatori (carichi elettrici).**
Nel caso di un sistema simmetrico ed equilibrato, la somma dei [[Fasori]] delle correnti di linea è rigorosamente nulla ($\dot{I}_1 + \dot{I}_2 + \dot{I}_3 = 0$), rendendo fisicamente superfluo l'impiego di un conduttore di ritorno (filo di neutro).
==Ci sono diversi **vantaggi**:==
- risparmio di materiale
- metà delle perdite lungo la linea elettrica
![[Pasted image 20260323140323.png]]
In questo caso il punto di connessione dei tre generatori, come quello dei carichi, può essere collegato a [[Reti equivalenti#Collegamento a stella e triangolo|stella o a triangolo]], da cui nascono le denominazioni di **centro stella/triangolo** dei carichi/generatori.
#### Tensioni Trifase
Una terna di tensioni si definisce ***simmetrica*** quando è costituita da tre grandezze sinusoidali isofrequenziali, aventi la medesima ampiezza e sfasate di $\frac{2}{3}\pi$ ($120^\circ$) l'una rispetto all'altra. *Questo assetto offre vantaggi cruciali nell'alimentazione di [[Macchine elettriche]] ad elevata potenza, permettendo la generazione intrinseca di un [[Campo magnetico rotante]].*
La generazione avviene facendo ruotare a velocità angolare costante $\omega$ un sistema di tre spire identiche, sfasate spazialmente di $120^\circ$, all'interno di un campo magnetico uniforme. Per la legge dell'induzione elettromagnetica (che richiede il calcolo della derivata temporale del flusso magnetico concatenato), le forze elettromotrici indotte risultano:
$ \begin{gather*}
e_1(t) = E_{\max} \sin(\omega t) \\
e_2(t) = E_{\max} \sin\left(\omega t - \frac{2}{3}\pi\right) \\ e_3(t) = E_{\max} \sin\left(\omega t - \frac{4}{3}\pi\right)
\end{gather*} $
Passando al dominio dei [[Fasori]] e facendo riferimento ai [[Grandezze periodiche|valori efficaci]], si ottiene la rappresentazione simbolica:
$ \color {orange} \dot{E}_1 = \frac{E_{\max}}{\sqrt{2}} \quad ; \quad \dot{E}_2 = \dot{E}_1 \left(-\frac{1}{2} - j\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \quad ; \quad \dot{E}_3 = \dot{E}_1 \left(-\frac{1}{2} + j\frac{\sqrt{3}}{2}\right) $
*Si dice **senso ciclico positivo o diretto** quello per cui le tensioni si succedono nell'ordine E1, E2, E3 in senso orario, mentre il **senso ciclico è negativo o inverso** quando tale successione avviene in senso antiorario.*
Introducendo l'operatore complesso **fattore di rotazione** $\alpha = -\frac{1}{2} + j\frac{\sqrt{3}}{2}$ (che ruota un fasore di $120^\circ$ in anticipo), la terna può essere espressa in funzione del fasore base $\dot{E}_1$:
$\dot{E}_1 \quad ; \quad \dot{E}_2 = \alpha^2 \dot{E}_1 \quad ; \quad \dot{E}_3 = \alpha \dot{E}_1 $
Per simmetria del sistema, in ogni istante, la somma dei valori istantanei (e dei rispettivi fasori) di una terna simmetrica è nulla:
$\color {green} \dot{E}_1 + \dot{E}_2 + \dot{E}_3 = 0$
#### Correnti Trifase
Applicando la terna di tensioni precedente a tre impedenze $\bar{Z}_1, \bar{Z}_2, \bar{Z}_3$, si generano tre correnti di linea.
$ \color {orange}
\begin{equation*}
\dot{I}_{1}=\frac{\dot{E}_{1}}{\bar{Z}_{1}}
\quad ; \quad
\dot{I}_{2}=\frac{\dot{E}_{2}}{\bar{Z}_{2}}
\quad ; \quad
\dot{I}_{3}=\frac{E_{3}}{\bar{Z}_{3}}
\end{equation*}
$
Se le impedenze sono identiche ($\bar{Z}_1 = \bar{Z}_2 = \bar{Z}_3 = R + jX$), il carico si definisce *equilibrato*. ==Un sistema si dice **simmetrico ed equilibrato** quando presenta tensioni simmetriche e correnti equilibrate.==
Per cui le relazioni precedenti si semplificano nella forma:
$ \color {green} \dot{I}_1 = \frac{\dot{E}_1}{\bar{Z}} \quad ; \quad \dot{I}_2 = \frac{\dot{E}_2}{\bar{Z}} \quad ; \quad \dot{I}_3 = \frac{\dot{E}_3}{\bar{Z}} $
Le correnti risultano sfasate rispetto alle tensioni di un angolo caratteristico dell'impedenza $\varphi = \arctan\left(\frac{X}{R}\right)$.
$
\begin{cases}
i_{1}(t) =\frac{E_{\max }}{Z} \operatorname{sen}(\omega t-\varphi) =I_{\max } \operatorname{sen}(\omega t-\varphi) \\
i_{2}(t) =I_{\max } \operatorname{sen}\left(\omega t-\frac{2}{3} \pi-\varphi\right) \\
i_{3}(t) =I_{\max } \operatorname{sen}(\omega t-\frac{4}{3} \pi-\varphi)
\end{cases}
$
| Diagramma nel tempo | Diagramma fasoriale |
| --- | --- |
|  |  |
Analogamente alle tensioni, per una terna equilibrata vale la relazione
$\color {green} \dot{I}_1 + \dot{I}_2 + \dot{I}_3 = 0$
### Esempi ed esercizi
Un classico **esempio** di sistema trifase simmetrico ed equilibrato è l'alimentazione (statore) di una [[Macchina asincrona trifase|motore asincrono trifase]].
Le tre fasi statoriche del motore, essendo identiche per costruzione, assorbono correnti uguali in modulo e sfasate di $120^\circ$. Questa simmetria è la condizione necessaria e sufficiente per generare un campo magnetico rotante circolare uniforme all'interno del traferro, garantendo una coppia motrice costante e priva di pulsazioni.
##### Domande di teoria
- [ ] Disegna la rete equivalente di un sistema trifase
- [ ] Quali sono i vantaggi tecnici ed economici del trasporto di energia in trifase rispetto a un sistema monofase equivalente?
- [ ] Dimostra matematicamente, utilizzando l'operatore $\alpha$, che la somma dei fasori di una terna simmetrica di tensioni è pari a zero.
- [ ] Spiega il significato fisico dell'operatore complesso $\alpha$ e dimostra analiticamente che $\alpha^3 = 1$.
- [ ] Perché in un sistema trifase simmetrico ed equilibrato con collegamento a stella la corrente sul filo di neutro è nulla?
##### Esercizi
- [ ] Dato un sistema trifase simmetrico con tensione di fase efficace $E = 230 \text{ V}$ e frequenza $50 \text{ Hz}$, scrivi le espressioni analitiche nel dominio del tempo delle tre tensioni $e_1(t), e_2(t), e_3(t)$.
- [ ] Un carico trifase equilibrato collegato a stella è costituito da tre impedenze ohmico-induttive $\bar{Z} = 10 + j10 \ \Omega$. Calcola i fasori delle correnti di linea assumendo come riferimento la tensione della prima fase $\dot{E}_1 = 230 \angle 0^\circ \text{ V}$.
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