La [[Turbina a gas]] funziona cercando di approssimare al meglio possibile il **ciclo di Brayton teorico, costituito da due isobare e due adiabatiche** ![[Pasted image 20250325153646.png]] #### Rendimento Il [[Ciclo termico e ciclo frigorifero|rendimento]] del ciclo è dato da: $\eta= 1-\frac {Q_2}{Q_1} = 1 - \frac {\gamma_p (T_D-T_A)}{\gamma_p (T_C-T_B)}$ Essendo il fluido un **gas perfetto**, $\gamma_p$ non dipende dalla temperatura ed ha lo stesso valore per le due trasformazioni BC, DA --> quindi si può scrivere: $\eta = 1-\frac {(T_D-T_A)}{(T_C-T_B)}$ L'efficienza del ciclo di Brayton è strettamente legata al **rapporto di pressione** $\psi = \frac{P_b}{P_a}$ dove $P_b$ è la pressione massima e $P_a$ è la pressione minima nel ciclo. *Questo rapporto di pressione influisce sull'efficienza dato che un aumento del rapporto di pressione comporta un aumento della differenza di temperatura tra l'ingresso e l'uscita del compressore e della turbina. Questo incremento nella differenza di temperatura migliora l'efficienza termodinamica del ciclo, poiché una maggiore quantità di energia può essere convertita in lavoro utile.* Utilizzando il rapporto $\psi = \frac {P_b}{P_a}$ si ottiene: $\color {green} \eta = 1-\frac 1{\psi^{(k-1)/k}}$ Il rendimento \eta aumenta quando aumenta psi secondo un **andamento di tipo logaritmico,** questo significa che i guadagni di efficienza diventano meno significativi man mano che il rapporto di pressione continua ad aumentare. ![[Pasted image 20250219165708.png]] ==Il rendimento di un ciclo di Brayton dipende dunque soltanto dal rapporto fra le pressioni massima e minima, si conclude che i cicli di massimo rendimento sono tre e sono i cicli di Carnot, Otto, Brayton. == ##### Rendimento exergetico Il rendimento exergetico è definito dal rapporto $ \eta_{ex}= \frac {W_2}{W_1}$ essendo W_2 exergia in uscita e W_1 exergia in ingresso. Sostituendo: - $W_2=L$ - $W_1=(1-\frac {T_0}{T_h})Q_1$ Si ottiene $ \eta_{ex}= \frac {W_2}{W_1}= \frac L{Q_1} (\frac {T_h}{T_h -T_0})=\eta (\frac {T_h}{T_h -T_0}) $ ##### Dimostrazione del rendimento Partiamo dalla formula basata sulla differenza di temperatura: $\eta = 1 - \frac{(T_D - T_A)}{(T_C - T_B)}$ Per un [[Analisi termodinamica delle trasformazioni ideali|processo adiabatico]] (Q=0), la relazione tra temperatura e pressione è: $\left(\frac{T_2}{T_1}\right) = \left(\frac{P_2}{P_1}\right)^{(k-1)/k}$ dove $k = \frac{C_p}{C_v}$ è il rapporto dei [[Calore specifico e relazione di Mayer|calori specifici]]. Nel ciclo di Brayton, consideriamo le trasformazioni adiabatiche: 1. **Compressione adiabatica (A → B):** $\frac{T_B}{T_A} = \left(\frac{P_b}{P_a}\right)^{(k-1)/k}$ 2. **Espansione adiabatica (C → D):** $\frac{T_C}{T_D} = \left(\frac{P_b}{P_a}\right)^{(k-1)/k}$ Possiamo esprimere le temperature $T_B$ e $T_C$ in funzione di $T_A$ e $T_D$ usando le relazioni sopra: - Da (A → B): $T_B = T_A \cdot \left(\frac{P_b}{P_a}\right)^{(k-1)/k}$ - Da (C → D): $T_C = T_D \cdot \left(\frac{P_b}{P_a}\right)^{(k-1)/k}$ Sostituendo queste espressioni nella formula del rendimento basata sulla differenza di temperatura: $\eta = 1 - \frac{(T_D - T_A)}{(T_C - T_B)}$ Diventa: $\eta = 1 - \frac{(T_D - T_A)}{(T_D \cdot \left(\frac{P_b}{P_a}\right)^{(k-1)/k} - T_A \cdot \left(\frac{P_b}{P_a}\right)^{(k-1)/k})}$ Raggruppando i termini comuni: $\eta = 1 - \frac{(T_D - T_A)} {(T_D-T_A) \cdot \left(\frac{P_b}{P_a}\right)^{(k-1)/k}}$ Semplificando: $\eta = 1 - \frac{1}{\left(\frac{P_b}{P_a}\right)^{(k-1)/k}}$ Questa è la formula del rendimento del ciclo di Brayton in funzione del rapporto di pressione: $\eta = 1 - \frac{1}{\psi^{(k-1)/k}}$ dove $\psi = \frac{P_b}{P_a}$ è il rapporto di pressione.