Si hanno le condizioni di **trasmissione di calore in regime variabile**, noto anche come regime transitorio, quando il campo di temperature e i gradienti termici variano nel tempo. Un classico esempio di un sistema del genere è il **muro di Fourier.** Il sistema a cui si fa riferimento è un mezzo solido semi-infinito, costituito da un semispazio di materiale omogeneo e isotropo, delimitato da una superficie limite piana. Le proprietà termofisiche del mezzo: - calore specifico $\gamma$ - densità $\rho$ - conducibilità termica $\lambda$ sono considerate indipendenti dalla temperatura e dal tempo. Inoltre consideriamo assenti sviluppi interni di calore. *Per ragioni di simmetria, le linee di flusso sono ortogonali alla superficie limite, le superfici isoterme sono piani paralleli a detta superficie.* L'**andamento nel tempo della temperatura** sulla superficie limite T(0,\tau), ad ascissa x=0, è supposto di tipo sinusoidale: $T(0,\tau)=T_m+A_0sen\omega \tau$ *essendo:* - *T_m = valor medio temporale della temperatura sulla superficie limite* - *A_0 = semiampiezza dell'oscillazione sulla superficie limite* - *\tau = periodo dell'oscillazione* - *\omega = pulsazione* Inizialmente il mezzo si trova ad una temperatura costante e uniforme T_m, e viene poi sottoposto all'oscillazione di temperatura sulla faccia limite sopra imposta. Esiste un *transitorio iniziale*, esaurito il quale si instaurano cicli successivi di temperatura tra loro identici: il regime si dice **permanente stabilizzato.** Utilizzando l'[[Postulato ed equazione di Fourier]] nel caso così definito si arriva alla soluzione: $\color {green} T(x,\tau)=T_m+A_0 e^{-\beta x}sen(\omega \tau -\beta x)$ con $\beta = \sqrt {\frac \pi {D\tau_0}}$ ==La precedente equazione mostra che la variazione di temperatura, ad una data distanza dalla superficie limite (x=0) ha ancora un andamento di tipo sinusoidale, con lo stesso periodo di oscillazione== | Andamento temporale della temperatura | Andamento spaziale della temperatura | | ----------------------------------------- | ----------------------------------------- | | ![[Pasted image 20250221120720.png\|400]] | ![[Pasted image 20250221120729.png\|400]] | Il **flusso termico per unità di superficie q** che attraversa la faccia limite può essere espresso per mezzo della relazione $q= -\lambda \frac {\partial T}{\partial x}\bigg|_{x=0}$ Derivando l'equazione precedente T(x,\tau) in dx si ottiene: $\color {green} q= -\lambda \frac {\partial T}{\partial x}\bigg|_{x=0}=\lambda A_0\beta(sin\omega \tau+cos\omega \tau)$ ==Si nota quindi che il flusso termico ha, come la temperatura un andamento periodico --> il flusso entrante nel mezzo è mediamente nullo.==