Il **metodo dell'analisi dimensionale** consente di ridurre il numero dei parametri che intervengono nella scrittura formale di una certa legge fisica e, soprattutto, di pervenire all'utilizzazione sistematica ed estesa dei risultati di carattere sperimentale. Il metodo è basato su un teorema fondamentale, il **Teorema di Buckingham**, l'enunciato del quale può essere suddiviso in due parti: 1) ==Ogni legge fisica può essere espressa per mezzo di una relazione fra parametri adimensionali== 2) ==Il numero n di questi parametri è pari alla differenza tra il numero di grandezze fisiche indipendenti p da cui dipende il fenomeno, meno il numero f di grandezze fisiche fondamentali necessarie per definire il sistema di unità fisiche adottato n = (p - f)== Nel caso dello studio termico della [[Convezione]] il numero di parametri è p = 9: $F (h, \lambda, a, \rho, \mu, \gamma, u, l, \theta) = 0$ *Il numero di grandezze fondamentali necessarie per definire il sistema di unità fisico è f = 5: lunghezza, massa, tempo, temperatura e quantità di calore.* Perciò: $n = 9 - 5 = 4.$ ==Il **teorema di Buckingham** ci dice allora che la relazione funzionale della convezione può esprimersi attraverso una F' di **quattro parametri adimensionali.**== #### Numero di Nusselt (Nu) Il **numero di Nusselt** rappresenta il **rapporto tra il trasferimento di calore per convezione e quello per conduzione in un fluido.** È definito come: $\color {orange} Nu=\frac {hL}λ$ *dove h è il coefficiente di convezione, L è una lunghezza caratteristica e λ è la conducibilità termica del fluido.* ==**Significato fisico:** Un Nu elevato indica una convezione efficiente, mentre un Nu basso (vicino a 1) indica che la conduzione domina il trasferimento di calore.== #### Numero di Reynolds (Re) Il **numero di Reynolds** è il **rapporto tra le forze inerziali e le forze viscose in un fluido.** Si esprime come: $\color {orange} Re=\frac {ρvL}μ$ *​dove ρ è la densità del fluido, v è la velocità, L è una lunghezza caratteristica e μ è la viscosità dinamica.* ==**Significato fisico:** Re determina se il flusso è laminare (Re basso) o turbolento (Re alto), influenzando significativamente il trasferimento di calore.== #### Numero di Prandtl (Pr) Il **numero di Prandtl** è il **rapporto tra la diffusività della quantità di moto e la diffusività termica.** Si calcola come: $\color {orange} Pr=\frac να$ *dove ν è la viscosità cinematica e α è la diffusività termica.* ==**Significato fisico:** Pr indica l'efficacia relativa del trasporto di quantità di moto e di energia termica nello strato limite. Un Pr basso significa che il calore si diffonde più rapidamente rispetto alla quantità di moto.== #### Numero di Grashof (Gr) Il **numero di Grashof** rappresenta il **rapporto tra le forze di galleggiamento e le forze viscose.** È espresso come: $\color {orange} Gr=\frac {gβ(T_s−T_∞)L^3}{ν^2}=\frac {ReP_G}{\tau}$ *​dove g è l'accelerazione di gravità, β è il coefficiente di dilatazione termica, Ts è la temperatura della superficie, T∞ è la temperatura del fluido indisturbato e ν è la viscosità cinematica.* ==**Significato fisico:** Gr è importante nella convezione naturale, indicando l'intensità del flusso indotto dalle differenze di densità.== Infine, **se il fluido è un gas**, il numero di Pr, che contiene solo grandezze caratteristiche del fluido, varia in maniera poco significativa da un gas all'altro; ne segue che: - convezione naturale in un gas: $Nu = A Gr^n$ - convezione forzata in un gas: $Nu = A Re^\alpha$ #### Relazioni fra i numeri adimensionali ==Nella pratica, questi numeri adimensionali vengono combinati in correlazioni empiriche per determinare il coefficiente di convezione h. == **In convezione naturale**, si usa spesso una correlazione del tipo: $\color {green} Nu=C(Gr⋅Pr)^n$ *dove C e n sono costanti che dipendono dalla geometria e dal regime di flusso.* Questa relazione mostra come lo scambio termico in convezione naturale sia guidato dalle forze di galleggiamento (Gr) e dalle proprietà del fluido (Pr). **In convezione forzata**, una tipica correlazione potrebbe essere: $\color {green} Nu=C⋅Re^a⋅Pr^b$ *dove a, b e C sono costanti determinate sperimentalmente.* Questa relazione evidenzia come lo scambio termico convettivo sia influenzato sia dalle proprietà del fluido (Pr) che dalle caratteristiche del flusso (Re). Infine, **se il fluido è un gas**, il numero di Pr, che contiene solo grandezze caratteristiche del fluido, varia in maniera poco significativa da un gas all'altro; ne segue che: **Convezione naturale in un gas:** $Nu = C(Gr⋅Pr)^n= C'' \cdot Gr^n$ **Convezione forzata in un gas:** $Nu = C⋅Re^a⋅Pr^b = C' \cdot Re^\alpha$ *dove C'' è una nuova costante che include il valore quasi costante di $Pr^n$ e C' è una nuova costante che incorpora il valore quasi costante di $Pr^b$* Esistono poi numerose relazioni specifiche per le diverse configurazioni geometriche e i regimi di moto turbolento o laminare. *Queste correlazioni permettono di stimare il coefficiente di convezione h e quindi il flusso di calore in varie configurazioni, semplificando notevolmente l'analisi di problemi complessi di scambio termico convettivo.*