*Si consideri un dispositivo sperimentale del tipo in figura:* ![[Pasted image 20241017144529.png]] Si può verificare sperimentalmente che una quantità di calore delta Q viene trasferita dalla faccia AB alla faccia CD e che l'entità di delta Q è fornita dalla seguente relazione: $\color {green} \Delta Q = -\lambda \cdot \Delta T \cdot \Delta \tau \frac S s$ *essendo:* - *delta Q (kJ) = quantità di calore trasmessa nel tempo \tau dalla superficie AB alla superficie CD;* - *delta T (K) = differenza fra la temperatura della faccia AB e la temperatura della faccia CD;* - *delta tau (s) = tempo di svolgimento del fenomeno;* - *S (m^2) = area della superficie di traccia AB e della superficie di traccia CD;* - *s (m) = spessore della parete;* - *lambda (W/m K) = conducibilità termica del materiale costituente la parete.* La relazione precedente può essere scritta in forma differenziale, prendendo il nome di **Postulato di Fourier:** $\color {green} d Q_n = -\lambda \cdot d \tau \cdot dS\frac {\partial T} {\partial n}$ ![[Pasted image 20241017145120.png]] Effettuando poi un analisi in tre dimensioni del flusso di calore $dQ_{xyz} +dQ_{V}=dQ_{T}$ e sostituendo le espressioni dei diversi dQ si ottiene l'**equazione di Fourier:** $\color {green} \frac \lambda {\gamma \rho} \bigg [\bigg (\frac {\partial^2 T} {\partial x^2} +\frac {\partial^2 T} {\partial y^2} + \frac {\partial^2 T} {\partial z^2} \bigg ) +\frac H \lambda\bigg] = \frac {\partial T} {\partial \tau}$ nella quale il rapporto $\color {orange} D = \frac \lambda {\gamma \rho}$ si suole attribuire il nome di **diffusività termica:** *Questa rappresenta lo strumento principale per lo studio dei problemi di trasmissione del calore per [[Conduzione|conduzione]], descrivendo le proprietà del campo termico in ogni punto in cui il campo termico è definito ed in un determinato istante.* ##### Caso stazionario in assenza di sviluppo interno di calore Per ipotesi $\frac \lambda {\gamma \rho} \bigg [\bigg (\frac {\partial^2 T} {\partial x^2} +\frac {\partial^2 T} {\partial y^2} + \frac {\partial^2 T} {\partial z^2} \bigg ) +\frac H \lambda\bigg] = 0$ Se poi lambda, gamma e rho sono indipendenti dalla temperatura $ \color {green} \bigg (\frac {\partial^2 T} {\partial x^2} +\frac {\partial^2 T} {\partial y^2} + \frac {\partial^2 T} {\partial z^2} \bigg )=0 $ ==La distribuzione delle temperature è indipendente dalla natura del corpo: in regime stazionario il campo termico dipende soltanto dalla geometria del corpo e dalle condizioni ai limiti.== Del postulato di Fourier non sono possibili verifiche sperimentali dirette; la sua validità deriva pertanto da verifiche indirette, basate sull'equazione di Fourier. ##### Dimostrazione *Al fine di determinare l'andamento del campo termico all'interno di un corpo, è necessario, in generale, integrare l'equazione di Fourier nello spazio e nel tempo; l'integrazione analitica è possibile soltanto in geometrie molto semplici, in situazioni più complesse è necessario ricorrere a metodi numerici.* Si consideri la funzione temperatura $T=T(x,y,z, \tau)$ e un elemento di volume parallelepipedo avente le facce parallele agli assi coordinati e siano verificate le seguenti **ipotesi:** - la funzione T è definita all'interno di un corpo allo stato solido ed in un intervallo di tempo continuo delta tau - nei campi spaziale e temporale di definizione, la funzione T è continua ed integrabile in ogni punto - il corpo è omogeneo ed isotropo ![[Pasted image 20241017150139.png]] Durante l'intervallo di tempo tau il corpo è attraversato dalla quantità di calore: $dQ_{xyz}=-\lambda \cdot d \tau \cdot dV \bigg (\frac {\partial^2 T} {\partial x^2} +\frac {\partial^2 T} {\partial y^2} + \frac {\partial^2 T} {\partial z^2} \bigg )$ All'interno dell'elemento di volume, può aversi anche una generazione od assorbimento di calore $dQ_V$, fornito dalla seguente: $dQ_V= H \cdot dV \cdot d\tau$ ed essendo H la funzione di distribuzione della quantità di calore generata o assorbita. In generale si ha: $H = H(x, y, z, \tau)$ Inoltre la quantità di calore $dQ_T$ necessaria per far variare di dT la temperatura della massa dm è pari a: $dQ_T=\gamma \cdot dm \cdot dT = \gamma \cdot \rho \cdot dV \cdot \frac {\partial T} {\partial \tau} d\tau$ *Siamo ora in possesso di tutti gli elementi per formare il bilancio termico dell'elemento infinitesimo dV, si pò infatti scrivere:* $dQ_{xyz} +dQ_{V}=dQ_{T}$ Sostituendo le espressioni dei diversi dQ ottenuti dalle precedenti relazioni si ottiene l'**equazione di Fourier:** $\color {green} \frac \lambda {\gamma \rho} \bigg [\bigg (\frac {\partial^2 T} {\partial x^2} +\frac {\partial^2 T} {\partial y^2} + \frac {\partial^2 T} {\partial z^2} \bigg ) +\frac H \lambda\bigg] = \frac {\partial T} {\partial \tau}$ **Problematiche di soluzione:** - i valori delle proprietà termofisiche lambda, gamma, rho dipendono dalla temperatura T - poiché T è funzione x, y, z, tau anche lambda, gamma e rho diventano funzioni di x, y, z, tau - H può essere una funzione non semplice di x, y, z, tau - la geometria del sistema può essere complessa - le condizioni al contorno possono essere espresse da relazioni non facilmente correlabili con il campo termico.