L'analisi dei segnali digitali consiste nell'elaborazione di sequenze numeriche discrete ottenute tramite [[Campionamento e quantizzazione|digitalizzazione]]. ```mermaid graph TD A[Sequenza discreta] --> B[Dominio del tempo] A --> C[Dominio frequenza] B --> D[Parametri statistici] C --> E[DFT / FFT] E --> F[Shannon & Rayleigh] E --> G[Leakage & Finestre] ``` ### Analisi nel dominio del tempo A seguito del processo di [[Campionamento e quantizzazione|campionamento e quantizzazione]], un segnale continuo viene convertito in una sequenza numerica discreta rappresentata da un vettore $q(n)$ con $n = 1, 2, \dots, N$. I parametri statistici classici dei segnali continui trovano una corrispondenza diretta nelle definizioni discrete riportate nella tabella seguente: | Funzione | Analisi tradizionale | Analisi digitale | | :--- | :--- | :--- | | **Valor medio** | $\overline{q_i(t)} = \lim_{T \to \infty} \frac{1}{T} \int_{0}^{T} q_i(t) dt$ | $\bar{q}_i = \frac{\sum q_i(n)}{N}$ | | **Valore quadratico medio** | $\overline{q_i^2(t)} = \lim_{T \to \infty} \frac{1}{T} \int_{0}^{T} q_i^2(t) dt$ | $\overline{q_i^2} = \frac{\sum q_i^2(n)}{N}$ | | **Valore efficace (RMS)** | $q_{i,\mathrm{rms}} = \sqrt{\overline{q_i^2(t)}}$ | $q_{i,\mathrm{rms}} = \sqrt{\overline{q_i^2}}$ | | **Autocorrelazione** | $R(\tau) = \lim_{T \to \infty} \frac{1}{T} \int_{0}^{T} q_i(t) q_i(t+\tau) dt$ | $R_{q_i}(d) = \frac{1}{N} \sum_{n=1}^{N} q_i(n) q_i(n-d)$ | | **Crosscorrelazione** | $R_{q_1 q_2}(\tau) = \lim_{T \to \infty} \frac{1}{T} \int_{0}^{T} q_1(t) q_2(t+\tau) dt$ | $R_{q_i q_o}(d) = \frac{1}{N} \sum_{n=1}^{N} q_i(n) q_o(n-d)$ | ### Analisi nel dominio della frequenza L'analisi spettrale numerica si basa sulla [[Trasformata di Fourier|Trasformata Discreta di Fourier]] (DFT), che discretizza la trasformata continua. Data una sequenza $x(n)$ campionata con tempo di campionamento $t_c$, la DFT genera una sequenza di numeri complessi $X(k)$ definita come: $ X(k) = \frac{1}{N} \sum_{n=0}^{N-1} x(n) e^{-\frac{i 2 \pi k n}{N}} = \frac{1}{N} \sum_{n=0}^{N-1} x(n) \left[ \cos\left(\frac{2 \pi k n}{N}\right) - i \sin\left(\frac{2 \pi k n}{N}\right) \right] $ dove l'indice $k = 0, 1, \dots, N-1$ corrisponde alle frequenze discrete: $ f_k = \frac{k}{N \cdot t_c} $ mentre l'indice $n$ individua gli istanti temporali di campionamento $t_n = n \cdot t_c$. #### Relazioni di campionamento (Shannon e Rayleigh) I parametri di campionamento e la risoluzione spettrale sono regolati dai teoremi di Shannon e Rayleigh, sintetizzati nella tabella seguente: | Parametro scelto | Parametro determinato | Profondità di memoria $N$ | Risoluzione / Banda | | :--- | :--- | :--- | :--- | | $t_c$ | $F_{\max} = \frac{1}{2 t_c}$ | $T = N t_c$ | $\Delta f = \frac{1}{N t_c}$ | | $F_{\max}$ | $t_c = \frac{1}{2 F_{\max}}$ | $T = N t_c$ | $\Delta f = \frac{1}{N t_c}$ | | $\Delta f$ | $T = \frac{1}{\Delta f}$ | $t_c = \frac{T}{N}$ | $F_{\max} = \frac{N}{2} \Delta f$ | | $T$ | $\Delta f = \frac{1}{T}$ | $t_c = \frac{T}{N}$ | $F_{\max} = \frac{N}{2} \Delta f$ | Questi criteri definiscono i vincoli fisici tra la risoluzione temporale e quella frequenziale. ##### Teorema di Shannon (Vincolo sulla banda) Regola la massima frequenza analizzabile ($F_{\max}$) in funzione del tempo di campionamento ($t_c$): - **Frequenza massima (Nyquist)**: $F_{\max} = \frac{1}{2 t_c}$. Per evitare l'aliasing, il tempo di campionamento deve essere $t_c \leq \frac{1}{2 F_{\max}}$. - **Risoluzione in frequenza**: Con una memoria di $N$ campioni, la durata dell'acquisizione è $T = N t_c$ e lo step spettrale tra i punti della DFT è $\Delta f = \frac{1}{N t_c} = \frac{1}{T}$. ##### Criterio di Rayleigh (Vincolo sulla risoluzione) Regola la risoluzione spettrale ($\Delta f$) in funzione della durata totale dell'acquisizione ($T$): - **Durata minima**: Per ottenere una risoluzione in frequenza pari a $\Delta f$, è necessario acquisire il segnale per un tempo minimo $T = \frac{1}{\Delta f}$. - **Parametri derivati**: Con $N$ campioni a disposizione, il tempo di campionamento si riduce a $t_c = \frac{T}{N}$ e la banda massima analizzabile diventa $F_{\max} = \frac{N}{2} \Delta f$. #### Algoritmo FFT (Fast Fourier Transform) La FFT è un algoritmo ottimizzato per il calcolo rapido della DFT. Riduce drasticamente la complessità computazionale, ma richiede che il numero di campioni $N$ sia una potenza di due (es. $512, 1024, 2048$). #### Fenomeno del leakage e finestratura Il campionamento per un tempo finito $T$ equivale a moltiplicare il segnale per una finestra temporale rettangolare. Nel dominio della frequenza, questo prodotto si traduce nella convoluzione dello spettro del segnale con la trasformata della finestra (una funzione sinc). Se la durata dell'acquisizione $T$ è un multiplo esatto del periodo del segnale $T_0$, lo spettro discreto coincide con quello continuo (a meno di un fattore di scala $t_c$). ![[Pasted image 20260521144340.png]] ![[Pasted image 20260521144356.png]] Se il segnale non è periodico nel tempo d'osservazione $T$ (es. segnali casuali o transitori), si verifica una discontinuità ai bordi della finestra di troncamento. ![[Pasted image 20260521144436.png]] Questa discontinuità genera componenti spettrali fittizie che allargano la base dei picchi principali. Questo fenomeno è detto **leakage** (dispersione spettrale). ![[Pasted image 20260521144445.png]] Per ridurre il leakage si applicano finestre temporali non rettangolari, come la finestra di Hanning, che attenuano gradualmente il segnale fino a zero in corrispondenza dei limiti dell'intervallo di acquisizione. ![[Pasted image 20260521144511.png]] ### Esempi ed esercizi Immagina di voler rivestire una parete con strisce di carta da parati che hanno un motivo a onde ripetitivo. Se tagli ogni striscia esattamente alla fine di un'onda completa, quando le accosterai il disegno sembrerà continuo e perfetto. Ma se tagli a metà di un'onda, nel punto di giunzione si vedrà uno scalino netto e innaturale. Nel mondo dei segnali, questo "scalino" artificiale dovuto al taglio (troncamento) crea frequenze inesistenti nello spettro reale: questo è il *leakage*. Per rimediare, usiamo una "finestra" (come quella di Hanning) che sfuma i bordi del ritaglio a zero, eliminando lo scalino brusco e addolcendo la giunzione. ##### Domande di teoria - [ ] Come si modifica la definizione di valor medio passando dal dominio continuo a quello discreto? - [ ] Spiegare la differenza fisica tra il criterio di Shannon e il criterio di Rayleigh. - [ ] Perché l'algoritmo FFT impone un vincolo sul numero di campioni $N$? - [ ] Qual è l'effetto grafico del leakage sullo spettro di una sinusoide e come lo si attenua? ##### Esercizi - [ ] Un sistema acquisisce $N = 2048$ campioni con una frequenza di campionamento $F_c = 1024\ \mathrm{Hz}$. Calcolare la durata dell'acquisizione $T$ e la risoluzione in frequenza $\Delta f$ - [ ] Si analizzi una sinusoide a $100\ \mathrm{Hz}$ campionata a $F_c = 500\ \mathrm{Hz}$ per un tempo $T = 1.005\ \mathrm{s}$. Determinare se si verifica il fenomeno del leakage ### Collegamenti --- *Per risposte, ulteriori esercizi e approfondimenti consultare le risorse di riferimento.* > [!info]- Risorse > ![[!Misure meccaniche e termiche#Risorse#Bibliografia]] > ![[!Misure meccaniche e termiche#Risorse#Approfondimenti]] --- > [!danger] Info > ![[!Misure meccaniche e termiche#Collegamenti]]