L'analisi di coppie di segnali studia la relazione statistica e temporale tra due grandezze, tipicamente l'ingresso e l'uscita di un sistema. Attraverso la **correlazione e la convoluzione**, è possibile identificare ritardi, funzioni di trasferimento e la coerenza del sistema di misura. ```mermaid graph TD A[Analisi Coppie Segnali] --> B[Dominio Ampiezza] A --> C[Dominio Tempo] A --> D[Dominio Frequenza] B --> B1[Densità Congiunta] C --> C1[Cross-correlazione] C --> C2[Convoluzione] D --> D1[Densità Incrociata] D --> D2[Funzione Coerenza] ``` ### Analisi di coppie di segnali #### Funzione unione di distribuzione di ampiezza Per descrivere come si distribuiscono simultaneamente le ampiezze di due segnali $q_1(t)$ e $q_2(t)$, si definisce la funzione unione di densità di probabilità $W_1(q_1, q_2)$: $W_1(q_1, q_2) = \lim_{T \to \infty} \lim_{\Delta q_1, \Delta q_2 \to 0} \frac{1}{\Delta q_1 \Delta q_2} \frac{\sum \Delta t_i}{T}$ ![[Pasted image 20260521142820.png]] Questa funzione rappresenta la densità di probabilità che i due segnali si trovino simultaneamente intorno al punto $(q_1, q_2)$. Se i segnali sono perfettamente casuali, $W_1$ assume la forma di una **superficie gaussiana bivariata**. La probabilità che i segnali cadano in determinati intervalli è data dall'integrale doppio della funzione sulla regione considerata. ![[Pasted image 20260521142830.png]] #### Funzione di cross-correlazione La cross-correlazione $R_{q_1q_2}(\tau)$ estende il concetto di autocorrelazione al caso di due segnali distinti: $R_{q_1q_2}(\tau) = \lim_{T \to \infty} \frac{1}{T} \int_{0}^{T} q_1(t) q_2(t+\tau) dt$ Operativamente, si moltiplica un segnale per l'altro ritardato di $\tau$ e si calcola l'area sottesa. Questa funzione è fondamentale per identificare ritardi temporali: il valore massimo di $R_{q_1q_2}$ indica il ritardo $\tau$ tra i due segnali. Un'applicazione pratica è la misura della velocità di un veicolo tramite due sensori a distanza nota $s$: $v = s/\tau$. #### Convoluzione La convoluzione $y(t) = x(t) * h(t)$ tra due funzioni è definita come: $y(t) = \int_{-\infty}^{+\infty} x(\tau) h(t-\tau) d\tau$ ![[Pasted image 20260521143002.png]] Graficamente, si ribalta una funzione ($h(-\tau)$), la si trasla di $t$ e si calcola l'area del prodotto con l'altra funzione. Il **teorema della convoluzione** afferma che la trasformata di Fourier della convoluzione è pari al prodotto delle trasformate di Fourier delle singole funzioni: $h(t) * x(t) \Longleftrightarrow H(f) X(f)$ Questo teorema spiega anche l'effetto di **leakage**: il campionamento di una sinusoide per un tempo finito equivale a moltiplicarla per una finestra rettangolare nel tempo, che nel dominio della frequenza corrisponde alla convoluzione tra una riga spettrale e una funzione sinc, allargando il picco spettrale. ![[Pasted image 20260521143035.png]] #### Densità spettrale quadratica media incrociata È una funzione complessa $\Phi_{q_1q_2}(i\omega) = C_{q_1q_2}(\omega) - j Q_{q_1q_2}(\omega)$, dove $C$ è il co-spettro e $Q$ lo spettro quadrato. Può essere ottenuta come trasformata di Fourier della cross-correlazione. Risulta essenziale per determinare la funzione di trasferimento sinusoidale del [[Modello dinamico degli strumenti di misura|modello dinamico]]: $\frac{q_0}{q_i}(i\omega) = \frac{\Phi_{q_0q_i}(\omega)}{\Phi_{q_i}(\omega)}$ Per validare la misura si utilizza la **funzione di coerenza** $\gamma^2$: $\gamma_{q_0q_i}^2(i\omega) = \frac{|\Phi_{q_0q_i}(i\omega)|^2}{\Phi_{q_i}(i\omega) \Phi_{q_0}(i\omega)}$ Se $\gamma^2 < 1$, la stima è influenzata da rumore esterno o non linearità del sistema. ### Esempi ed esercizi Immagina di voler misurare la profondità di un pozzo lanciando un sasso e ascoltando l'eco. Il suono dell'impatto è il segnale $q_1$, l'eco è $q_2$. La **cross-correlazione** è come far scorrere la registrazione dell'impatto sopra quella dell'eco finché i due suoni non "combaciano" perfettamente: il tempo di scorrimento necessario è il ritardo $\tau$. La **convoluzione**, invece, descrive come il pozzo (il sistema) modifica il suono originale: l'eco non è un picco secco, ma un suono "spalmato" dalle riflessioni sulle pareti, che agiscono come un [[Filtri|filtro]]. ##### Domande di teoria - [ ] Spiegare perché la funzione di coerenza deve tendere all'unità in un sistema ideale. - [ ] Descrivere la relazione tra cross-correlazione e densità spettrale incrociata. - [ ] Definire l'effetto di leakage nel dominio della frequenza tramite il teorema della convoluzione. ##### Esercizi - [ ] Calcolare la velocità di un'auto se due sensori posti a $0.8 m$ mostrano un picco di cross-correlazione a $\tau = 20 ms$. - [ ] Dati $\Phi_{q_0q_i} = 5 + 2j$ e $\Phi_{q_i} = 10$, determinare il modulo della funzione di trasferimento. ### Collegamenti --- *Per risposte, ulteriori esercizi e approfondimenti consultare le risorse di riferimento.* > [!info]- Risorse > ![[!Misure meccaniche e termiche#Risorse#Bibliografia]] > ![[!Misure meccaniche e termiche#Risorse#Approfondimenti]] --- > [!danger] Info > ![[!Misure meccaniche e termiche#Collegamenti]]