Le caratteristiche dinamiche dei [[Misure di temperatura|sensori di temperatura]] descrivono la risposta temporale del trasduttore a variazioni della temperatura del mezzo. Esse dipendono dallo scambio termico convettivo e dalla capacità termica del sensore, configurando sistemi del primo o del secondo ordine. ```mermaid graph LR A[Risposta dinamica] --> B[Senza guaina] A --> C[Con guaina] B --> D[Primo ordine] C --> E[Secondo ordine] D --> F[Costante di tempo] E --> G[Accoppiamento] classDef main fill:#f9f,stroke:#333,stroke-width:4px; classDef sub fill:#bbf,stroke:#333,stroke-width:2px; class A main; class B,C,D,E,F,G sub; ``` ### Sensore senza guaina protettiva: modello del primo ordine Un elemento sensibile nudo immerso in un fluido scambia calore principalmente per convezione. Il bilancio energetico istantaneo è espresso da: $h A (T_{\text{act}} - T_{\text{ind}}) dt = M C dT_{\text{ind}}$ dove: - $h$ è il coefficiente di scambio termico globale. - $A$ è la superficie di scambio termico. - $T_{\text{act}}$ è la temperatura effettiva del fluido. - $T_{\text{ind}}$ è la temperatura indicata dal sensore. - $M$ è la massa dell'elemento sensibile. - $C$ è il calore specifico del sensore. La funzione di trasferimento operazionale corrisponde a quella di uno [[Strumenti di ordine uno|strumento del primo ordine]]: $\frac{T_{\text{ind}}}{T_{\text{act}}}(D) = \frac{1}{\tau D + 1}$ La costante di tempo $\tau$ è definita come: $\tau = \frac{M C}{h A}$ Poiché la massa $M$ è proporzionale al volume (cubo della dimensione lineare $L^3$) e l'area $A$ al quadrato ($L^2$), la costante di tempo risulta proporzionale alla dimensione del sensore ($\tau \propto L$). Sensori miniaturizzati garantiscono pertanto risposte più rapide. ### Sensore con guaina protettiva: modello del secondo ordine L'inserimento del sensore all'interno di un pozzetto o di una guaina protettiva (configurazione tipica per garantire robustezza meccanica e tenuta) introduce una resistenza termica e una capacità termica aggiuntive. Questo sistema a due stadi genera un comportamento dinamico assimilabile a uno [[Strumenti di ordine due|strumento del secondo ordine]]: $\frac{T_{\text{ind}}}{T_{\text{act}}}(D) = \frac{1}{\tau_w \tau_s D^2 + \left[\tau_w + \tau_s + \frac{M_s C_s}{h_w A_w}\right] D + 1}$ dove: - $\tau_w = \frac{M_w C_w}{h_w A_w}$ è la costante di tempo della guaina protettiva. - $\tau_s = \frac{M_s C_s}{h_s A_s}$ è la costante di tempo del solo sensore. - $\frac{M_s C_s}{h_w A_w}$ rappresenta il termine di accoppiamento termico tra guaina e sensore. Se il termine di accoppiamento è trascurabile, la funzione di trasferimento si semplifica nel prodotto di due sistemi del primo ordine in cascata: $\frac{T_{\text{ind}}}{T_{\text{act}}}(D) \approx \frac{1}{\tau_w D + 1} \cdot \frac{1}{\tau_s D + 1}$ L'aggiunta della guaina aumenta significativamente il tempo di risposta complessivo e introduce un ritardo iniziale (tempo morto apparente). ### Influenza della velocità del fluido e taratura dinamica La costante di tempo $\tau$ non è una costante intrinseca del sensore, poiché il coefficiente di convezione $h$ varia in funzione del fluido e della sua velocità $V$ secondo relazioni empiriche del tipo: $h = A + B V^n$ Graficamente, la costante di tempo decresce rapidamente all'aumentare della velocità del fluido, tendendo asintoticamente a un valore minimo determinato dalla conduzione interna al sensore. Per isolare le caratteristiche costruttive del sensore dalle condizioni di impiego, si esegue una [[Taratura dei termometri|taratura]] dinamica tramite riscaldamento laser. Irraggiando il sensore con una potenza nota $W$, all'equilibrio si ha: $h A (T_s - T_f) = W$ Interrompendo bruscamente il fascio laser, si applica un ingresso a gradino negativo. Misurando la risposta temporale si ricava $\tau$. Il parametro caratteristico intrinseco del sensore è definito dal prodotto: $\tau h = \frac{M C}{A}$ Questo valore dipende esclusivamente dalle proprietà fisiche e geometriche del dispositivo. ### Esempi ed esercizi Immagina di voler misurare la temperatura di una tazza di tè bollente usando un termometro. Se usi un termometro molto piccolo e sottile (bassa massa e alta superficie), questo diventerà caldo quasi istantaneamente. Se invece il termometro è inserito dentro una spessa custodia di metallo (la guaina), il calore del tè dovrà prima scaldare la custodia e poi, lentamente, passare dalla custodia al sensore interno. Questo ritardo rende la lettura molto più lenta, trasformando la risposta rapida (primo ordine) in una risposta frenata a due stadi (secondo ordine). Inoltre, se mescoli il tè (aumentando la velocità del fluido), il calore si trasferirà più velocemente alla custodia, riducendo il tempo di attesa. ##### Domande di teoria - [ ] Perché la costante di tempo di un sensore di temperatura varia se immerso in aria calma rispetto ad acqua in movimento? - [ ] Qual è il significato fisico del termine di accoppiamento nella funzione di trasferimento di un sensore con guaina? - [ ] Come consente il metodo di riscaldamento laser di determinare il parametro intrinseco $\tau h$? ##### Esercizi - [ ] Un sensore di temperatura del primo ordine ha una costante di tempo $\tau = 2 \text{ s}$ in acqua corrente. Calcolare il tempo necessario affinché il sensore indichi il 95% di una variazione a gradino della temperatura del fluido. - [ ] Un termometro protetto da una guaina ha costanti di tempo $\tau_w = 4 \text{ s}$ e $\tau_s = 0.5 \text{ s}$. Assumendo il termine di accoppiamento trascurabile, determinare l'equazione differenziale che governa la risposta temporale $T_{\text{ind}}(t)$ a fronte di un gradino di temperatura esterna. ### Collegamenti --- > [!info]- Risorse > ![[!Misure meccaniche e termiche#Risorse#Bibliografia]] > ![[!Misure meccaniche e termiche#Risorse#Approfondimenti]]