La **determinazione sperimentale dei parametri dei modelli dinamici degli strumenti** consente di identificare quantitativamente il comportamento di un sensore nel tempo quando soggetto a ingressi variabili. Attraverso test standardizzati, come la risposta al gradino, è possibile ricavare costanti di tempo, frequenze naturali e rapporti di smorzamento necessari per completare il [[Modello dinamico degli strumenti di misura|modello dello strumento]]. ### Caratterizzazione di strumenti del primo ordine Per gli [[Strumenti di ordine uno]], l'unico parametro dinamico da determinare è la costante di tempo $\tau$. Il metodo sperimentale più comune è il **test al gradino**. #### Metodo del valore caratteristico In linea teorica, la costante di tempo $\tau$ corrisponde all'istante in cui la risposta $q_0(t)$ raggiunge il $63,2\%$ del valore di regime finale ($k q_{is}$). Sebbene immediato, questo metodo è estremamente sensibile al rumore di fondo e a eventuali errori di zero, rendendo l'identificazione del punto singolare poco precisa. #### Metodo della linearizzazione logaritmica Per una maggiore precisione, si preferisce utilizzare l'intera curva di risposta attraverso una regressione lineare. Partendo dall'equazione della risposta al gradino: $ \frac{k q_{is} - q_0}{k q_{is}} = e^{-t/\tau} $ Applicando il logaritmo naturale a entrambi i membri, si ottiene una relazione lineare: $ Z = \ln\left(\frac{k q_{is} - q_0}{k q_{is}}\right) = -\frac{1}{\tau} t $ Rappresentando i dati sperimentali in un piano $(t, Z)$, i punti si disporranno lungo una retta con pendenza $m = -1/\tau$. Utilizzando il metodo dei minimi quadrati per interpolare i punti, si ricava $\tau$ con un'incertezza molto ridotta rispetto al metodo puntuale. ### Caratterizzazione di strumenti del secondo ordine Per gli [[Strumenti di ordine due]], è necessario determinare la frequenza naturale $\omega_n$ e il rapporto di smorzamento $\xi$. Il **test al gradino** è risolutivo soprattutto per sistemi sottosmorzati ($\xi < 1$), che presentano una risposta oscillante smorzata. ![[Pasted image 20260511161413.png]] Dall'analisi della risposta sperimentale si ricavano due grandezze fondamentali: - **$a$ (Sovraelongazione)**: L'ampiezza del primo picco rispetto al valore di regime. - **$T$ (Periodo delle oscillazioni smorzate)**: L'intervallo temporale tra due picchi consecutivi. I parametri del modello si calcolano quindi come: $ \xi = \sqrt{\frac{1}{\left[\frac{\pi}{\ln(x/a)}\right]^2 + 1}} $ $ \omega_n = \frac{2\pi}{T\sqrt{1-\xi^2}} $ Dove $x$ rappresenta l'ampiezza del gradino in ingresso moltiplicata per la sensibilità statica. ### Esempi ed esercizi Immagina di voler testare quanto è "veloce" un termometro (1° ordine) e quanto è "stabile" la sospensione di un'auto (2° ordine). - **Per il termometro**: Lo immergi improvvisamente in acqua bollente. Se dopo 15 secondi segna $63^\circ C$ (partendo da 0), quella è la sua costante di tempo. Se vuoi essere preciso, segni la temperatura ogni secondo, ne fai il logaritmo e tracci una retta: la pendenza ti dirà esattamente quanto il vetro e il mercurio sono lenti a scambiarsi calore. - **Per l'auto**: Dai un colpo secco al cofano e lo lasci andare. L'auto scenderà e risalirà oltre il punto di equilibrio (sovraelongazione) per poi fermarsi dopo qualche oscillazione. Misurando quanto è alto il primo "rimbalzo" e quanto tempo passa tra due rimbalzi, puoi calcolare se gli ammortizzatori sono scarichi ($\xi$ basso) o se la molla è troppo rigida ($\omega_n$ alto). ##### Domande di teoria - [ ] Perché il metodo dell'interpolazione logaritmica è preferibile alla lettura diretta del $63,2\%$ per gli strumenti del primo ordine? - [ ] Cosa succede alla risposta al gradino di uno strumento del secondo ordine se il rapporto di smorzamento $\xi$ è maggiore di 1? ##### Esercizi - [ ] Ricostruire modelli degli esempi 4.2-4.6 con Simu-Link e verificarne i risultati | Rossi - [ ] Quesiti di fine capitolo (4.1 - 4.4) | Rossi ### Collegamenti --- > [!info]- Risorse > ![[!Misure meccaniche e termiche#Risorse#Bibliografia]] > ![[!Misure meccaniche e termiche#Risorse#Approfondimenti]]