Gli **elementi a tempo morto** sono sistemi di misura caratterizzati da un ritardo temporale puro tra l'ingresso e l'uscita, senza alcuna distorsione della forma del segnale. #### Caratterizzazione nel dominio del tempo In un elemento a tempo morto, la relazione tra il segnale di ingresso $q_i$ e il segnale di uscita $q_o$ è definita dallo sfasamento temporale $\tau$. Matematicamente, tale legame è espresso come: $\color {green} q_{o}(t) = k q_{i}(t - \tau) $ dove: - $k$ è la sensibilità statica (o guadagno) dello strumento. - $\tau$ è il tempo morto, ovvero l'intervallo che intercorre tra l'applicazione dell'ingresso e l'effettiva risposta del sistema. Dal punto di vista della risposta ai segnali standard: - **Ingresso a gradino**: L'uscita riproduce un gradino di ampiezza $k$ con un ritardo pari a $\tau$. - **Ingresso a rampa**: L'uscita è una rampa parallela all'ingresso, traslata nel tempo di una quantità $\tau$. Questi strumenti sono comuni in applicazioni dove il segnale deve percorrere una distanza fisica, come nelle linee di trasmissione elettriche, pneumatiche, ottiche o nella propagazione del suono. #### Risposta in frequenza e funzione di trasferimento Considerando un ingresso sinusoidale del tipo $q_{i} = A_{i} \sin(\omega t)$, la risposta del sistema sarà $q_{o} = k A_{i} \sin(\omega(t - \tau))$. La funzione di trasferimento sinusoidale, che descrive il comportamento del sistema nel dominio della frequenza, è data da: $ \frac{q_{o}}{q_{i}}(i \omega) = k \angle -\omega \tau $ Analizzando i componenti della funzione di trasferimento: - **Modulo**: $|G(i\omega)| = k$. Il modulo rimane costante al variare della frequenza, analogamente a quanto accade negli [[Strumenti di ordine zero]]. - **Fase**: $\phi = -\omega \tau$. La fase non è nulla, ma decresce linearmente con la frequenza $\omega$. Questo significa che a frequenze più elevate corrisponde uno sfasamento angolare maggiore, pur rimanendo costante il ritardo temporale $\tau$. ![[Pasted image 20260511161348.png]] #### Considerazioni dinamiche e applicazioni All'interno del [[Modello dinamico degli strumenti di misura]], l'elemento a tempo morto presenta analogie interessanti con altri sistemi. In particolare, gli [[Strumenti di ordine due]] con un rapporto di smorzamento prossimo a $0.7$ possono approssimare il comportamento di un elemento a tempo morto per frequenze inferiori alla loro frequenza di risonanza, poiché presentano una fase quasi lineare in quell'intervallo. L'impatto del tempo morto è critico nei sistemi di controllo in tempo reale. Se un sensore (ad esempio un trasduttore di pressione o di forza) introduce un ritardo significativo, l'informazione che giunge al controllore non rispecchia lo stato attuale del processo. In scenari ad alta dinamica, come il riempimento rapido di un serbatoio monitorato da una bilancia, un ritardo eccessivo può portare a errori sistematici gravi o instabilità nel ciclo di controllo. ### Esempi ed esercizi Immagina un nastro trasportatore che sposta del materiale da un punto A a un punto B, dove è posizionato un sensore di peso. Se il nastro è lungo 10 metri e si muove a una velocità costante di 2 m/s, il materiale impiegherà esattamente 5 secondi per raggiungere il sensore. In questo sistema, il "tempo morto" $\tau$ è di 5 secondi. Se versi improvvisamente un secchio di sabbia nel punto A (ingresso a gradino), il sensore nel punto B non rileverà nulla per 5 secondi, dopodiché segnerà l'aumento di peso istantaneo. Il sistema non ha cambiato la quantità di sabbia (guadagno $k$), ha solo ritardato l'informazione. Se il nastro accelerasse, il tempo morto diminuirebbe, ma la natura del sistema rimarrebbe la stessa. ##### Domande di teoria - [ ] Qual è la differenza principale tra la risposta in frequenza di un elemento a tempo morto e quella di uno strumento di ordine zero? - [ ] Come influisce il valore della frequenza $\omega$ sullo sfasamento angolare in un sistema a tempo morto? - [ ] In quale condizione uno strumento del secondo ordine può essere utilizzato per approssimare un elemento a tempo morto? ### Collegamenti --- *Per risposte, ulteriori esercizi e approfondimenti consultare le risorse di riferimento.* > [!info]- Risorse > ![[!Misure meccaniche e termiche#Risorse#Bibliografia]] > ![[!Misure meccaniche e termiche#Risorse#Approfondimenti]] --- > [!danger] Info > ![[!Misure meccaniche e termiche#Collegamenti]]