I [[Manometri|manometri]] sono strumenti di misura idonei alla determinazione della [[Pressione|pressione]] di un fluido, operanti principalmente attraverso il bilanciamento idrostatico di colonne liquide o la deformazione elastica di elementi meccanici. Essi consentono di rilevare differenze di pressione rispetto a un riferimento assoluto, relativo o differenziale. ```mermaid graph LR M[Manometri] --> MC[A colonna di liquido] M --> MM[Meccanici] M --> MV[Misure di vuoto] MC --> MCU[Tubo a U] MC --> MCI[Tubo inclinato] MM --> MMB[Tubo di Bourdon] MM --> MMS[A soffietto] MV --> ML[Manometro McLeod] classDef main fill:#f9f,stroke:#333,stroke-width:2px; classDef sub fill:#bbf,stroke:#333,stroke-width:1px; class M main; class MC,MM,MV,MCU,MCI,MMB,MMS,ML sub; ``` ### Manometri a equilibrio di colonne di fluido I **manometri a colonna di liquido** misurano differenze di pressione sfruttando il principio dell'equilibrio idrostatico. La configurazione fondamentale è costituita da un tubo trasparente a U contenente un fluido manometrico di densità nota $\rho$ (es. acqua, olio o mercurio). ![[Pasted image 20260608144459.png]] *Figura: tubo a U* Collegando le due estremità a due ambienti a pressione differente, si genera un dislivello $\Delta h$ tra i peli liberi del fluido nei due rami. Dall'equilibrio statico, regolato dalla [[legge di Stevino]], si ricava la relazione costitutiva ingresso-uscita dello strumento: $\Delta h = \frac{1}{\rho g} \Delta p$ La sensibilità statica dello strumento, definita come il rapporto tra la variazione dell'uscita e la variazione dell'ingresso, risulta inversamente proporzionale alla densità del fluido manometrico $\rho$ e all'accelerazione di gravità $g$: $S = \frac{d(\Delta h)}{d(\Delta p)} = \frac{1}{\rho g}$ Per ottimizzare la leggibilità e la sensibilità, si adottano varianti costruttive: - **Manometro a vaschetta**: un ramo del tubo a U è sostituito da un serbatoio a sezione molto ampia. La variazione del livello del fluido nella vaschetta è trascurabile rispetto a quella nel capillare di misura, consentendo la lettura diretta su un singolo ramo graduato. - **Manometro a tubo inclinato**: il ramo di misura è inclinato di un angolo $\alpha$ rispetto all'orizzontale. Lo spostamento effettivo del menisco lungo il tubo, indicato con $X$, amplifica visivamente il dislivello idrostatico secondo la relazione: $\Delta p = \rho g X \sin(\alpha)$ #### Analisi dinamica e sorgenti d'incertezza I manometri a colonna di liquido sono impiegati prevalentemente per misure statiche o quasi-statiche. Nel comportamento dinamico, essi si comportano come sistemi del secondo ordine a causa dell'inerzia della massa liquida e degli attriti viscosi lungo le pareti del condotto. Il processo di misura è soggetto a svariati [[Ingressi e disturbi negli strumenti di misura|ingressi interferenti e modificatori]] che alterano le [[Caratteristiche degli strumenti di misura|caratteristiche degli strumenti di misura]]: - **Espansione termica della scala graduata** (ingresso interferente): altera la lettura geometrica del dislivello. - **Variazione della densità del fluido con la temperatura** (ingresso modificatore): modifica la costante di proporzionalità della relazione di [[Taratura statica|taratura statica]]. - **Accelerazione di gravità locale** $g$ (ingresso modificatore): varia in base alla latitudine e all'altitudine del sito di misura. - **Effetti di capillarità** (ingresso interferente): la tensione superficiale genera un menisco curvo che introduce un'incertezza sistematica sulla lettura del livello. - **Accelerazioni d'inerzia** (ingresso interferente): vibrazioni o moti accelerati del supporto dello strumento inducono oscillazioni fittizie della colonna liquida. ### Barometri e misure di pressione assoluta Per la determinazione della pressione atmosferica locale (pressione assoluta) si utilizzano i **barometri.** Il dispositivo classico è il **barometro a mercurio di Torricelli**, costituito da un tubo di vetro chiuso a un'estremità, riempito di mercurio e capovolto in una vaschetta contenente lo stesso metallo liquido. ![[Pasted image 20260608144003.png]] *Figura: barometro di Torricelli* La colonna di mercurio scende fino a stabilizzarsi a un'altezza di circa $760 \text{ mm}$ al livello del mare. Nello spazio sovrastante la colonna si genera il vuoto torricelliano, in cui la pressione corrisponde unicamente alla tensione di vapore saturo del mercurio (trascurabile a temperatura ambiente). La pressione atmosferica agente sul pelo libero della vaschetta equilibra il peso della colonna di fluido: $p_{\text{atm}} = \rho_{\text{Hg}} g h$ I barometri trovano applicazione anche come altimetri barometrici, sfruttando la diminuzione della pressione atmosferica con la quota. Tale metodologia presenta tuttavia un'elevata incertezza strumentale dovuta alla variabilità meteorologica locale, richiedendo continue compensazioni termiche e barometriche. ### Misure di vuoto: il manometro di McLeod Nelle applicazioni di alto vuoto (pressioni inferiori alla pressione atmosferica), i comuni manometri idrostatici non offrono una risoluzione sufficiente. Si ricorre quindi al **manometro di McLeod**, uno strumento che opera una compressione isotermica di un volume noto di gas rarefatto per elevarne la pressione fino a livelli facilmente misurabili. ![[Pasted image 20260608144828.png]] *Figura: Manometro di McLeod* Il principio di funzionamento si basa sulla [[Leggi di Boyle e Gay-Lussac|legge di Boyle-Mariotte|legge di Boyle-Mariotte]] per i gas ideali a temperatura costante: $p_1 V_1 = p_2 V_2$ Un volume iniziale di gas $V$, alla pressione incognita $p_1$, viene isolato e compresso dal mercurio risalente fino a occupare un piccolo volume capillare di sezione $A_t$ e altezza $h$. La pressione finale del gas compresso $p_2$ è bilanciata dalla colonna di mercurio di altezza $h$: $p_2 = p_1 + \rho g h$ Sostituendo e ipotizzando che il volume finale $V_2 = A_t h$ sia molto inferiore al volume iniziale $V$ ($V \gg A_t h$), si ottiene la relazione quadratica: $p_1 = \frac{\rho g A_t h^2}{V - A_t h} \approx \frac{\rho g A_t h^2}{V}$ L'incertezza di misura del manometro di McLeod è raramente inferiore all'1%, principalmente a causa di fenomeni di condensazione dei vapori presenti nel gas durante la fase di compressione. ### Manometri meccanici I **manometri meccanici** impiegano un elemento sensibile primario solido che si deforma elasticamente sotto l'azione della pressione. Tale deformazione viene successivamente convertita in uno spostamento lineare o rotativo mediante leveraggi meccanici amplificatori. I principali elementi sensibili sono: - **Soffietti elastici**: costituiti da membrane ondulate metalliche che si espandono longitudinalmente per effetto della differenza di pressione tra l'interno e l'esterno. Possono essere configurati per misure assolute (se immersi in una camera sotto vuoto), relative o differenziali (utilizzando due soffietti contrapposti agenti sullo stesso asse). - **Tubo di Bourdon**: consiste in un tubo metallico a sezione ellittica piegato a forma di arco di cerchio (tipicamente con angolo di avvolgimento di circa $270^\circ$). Un'estremità è fissa e connessa al fluido in pressione, mentre l'estremità opposta è chiusa e libera di muoversi. ![[Pasted image 20260608145037.png]] *Figura: tubo di Bourdon* Sotto l'azione della pressione interna, la sezione ellittica del tubo tende a diventare circolare, provocando un raddrizzamento del tubo stesso. Lo spostamento dell'estremità libera, proporzionale alla pressione relativa del fluido, viene trasmesso a un settore dentato che ingrana con il pignone dell'indice rotante, visualizzando la misura sulla scala graduata. La sensibilità del tubo di Bourdon dipende strettamente dai seguenti parametri costruttivi: - Geometria della sezione ellittica (semiassi $a$ e $b$). - Spessore di parete del tubo $s$. - Angolo di avvolgimento della spira. - Modulo di elasticità longitudinale (modulo di Young $E$) del materiale metallico impiegato. Per incrementare la sensibilità e la corsa utile senza aumentare l'ingombro radiale, si realizzano elementi sensibili avvolti a elica o a spirale piana. ### Esempi ed esercizi Pensa a un palloncino di gomma allungato, di quelli usati per fare le sculture di animali. Se provi a gonfiarlo, l'aria che spingi all'interno preme contro le pareti di gomma. Poiché la gomma è elastica, il palloncino tende a raddrizzarsi e ad allungarsi man mano che la pressione interna aumenta. Il tubo di Bourdon funziona esattamente allo stesso modo: è un tubicino metallico curvo e schiacciato che, quando viene riempito da un fluido in pressione, cerca di "gonfiarsi" e raddrizzarsi. Questo piccolo movimento meccanico viene poi trasmesso a una lancetta che si muove su un quadrante, mostrandoci visivamente il valore della pressione. ##### Domande di teoria - [ ] Dimostrare come varia la sensibilità statica di un manometro a tubo a U al variare della densità del fluido manometrico. - [ ] Descrivere le principali sorgenti di incertezza e gli ingressi modificatori che influenzano la misura di pressione in un manometro idrostatico. - [ ] Spiegare il principio di funzionamento del manometro di McLeod e discutere l'effetto della condensazione dei vapori sull'incertezza di misura. - [ ] Illustrare il principio di funzionamento del tubo di Bourdon e i parametri geometrici che ne governano la sensibilità. ##### Esercizi - [ ] Un manometro a tubo a U utilizza acqua ($\rho = 1000 \text{ kg/m}^3$) come fluido manometrico. Determinare il dislivello $\Delta h$ (in mm) generato da una pressione differenziale di $1500 \text{ Pa}$ (assumere $g = 9.81 \text{ m/s}^2$). - [ ] Un manometro a tubo inclinato con angolo $\alpha = 15^\circ$ è riempito con olio avente densità $\rho = 820 \text{ kg/m}^3$. Se la lettura sulla scala graduata mostra uno spostamento del menisco $X = 120 \text{ mm}$, calcolare la differenza di pressione applicata. - [ ] In un manometro di McLeod, il volume della camera di compressione è $V = 150 \text{ cm}^3$ e il diametro del capillare di misura è $d = 1 \text{ mm}$. Calcolare la pressione iniziale del gas $p_1$ (in Pa) se l'altezza del mercurio nel capillare è $h = 50 \text{ mm}$ ($\rho_{\text{Hg}} = 13579 \text{ kg/m}^3$, $g = 9.81 \text{ m/s}^2$). ### Collegamenti --- *Per risposte, ulteriori esercizi e approfondimenti consultare le risorse di riferimento.* > [!info]- Risorse > ![[!Misure meccaniche e termiche#Risorse#Bibliografia]] > ![[!Misure meccaniche e termiche#Risorse#Approfondimenti]] --- > [!danger] Info > ![[!Misure meccaniche e termiche#Collegamenti]]