Le **misure di deformazione** sono fondamentali per la caratterizzazione meccanica dei materiali, il monitoraggio strutturale e il collaudo di sistemi meccanici. Esse consentono di determinare lo stato di sollecitazione interna di un componente a partire dalle variazioni geometriche superficiali locali.
```mermaid
graph LR
%% Definizione degli stili
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classDef sub fill:#e1f5fe,stroke:#0277bd,stroke-width:1px;
A[Misure Deformazione] --> B[Fondamenti]
A --> C[Tecnologie Sensori]
A --> D[Circuiti Condizionamento]
B --> B1[Legge Hooke]
B --> B2[Coeff Poisson]
B --> B3[Analisi DMA]
C --> C1[Estensimetri meccanici]
C --> C2[Estensimetri elettrici]
C --> C3[Sensori Ottici FBG]
D --> D1[Ponte Wheatstone]
%% Applicazione stili
class A main;
class B,C,D sub;
```
### Fondamenti della deformazione meccanica
Considerando un provino cilindrico sottoposto a trazione monoassiale con carico assiale $N$, si definiscono:
- **Deformazione assiale ($\varepsilon_a$)**:
$\varepsilon_{a} = \frac{\Delta L}{L_{0}} = \frac{L_{1} - L_{0}}{L_{0}}$
- **Deformazione trasversale ($\varepsilon_l$)**:
$\varepsilon_{l} = \frac{\Delta D}{D_{0}} = \frac{D_{1} - D_{0}}{D_{0}}$
![[Pasted image 20260602191914.png]]
La relazione tra la **tensione assiale** $\sigma = N/S$ e la deformazione $\varepsilon$ è regolata dalla **[[legge di Hooke]]**:
$\color {green} \sigma = E \varepsilon$
dove $E$ è il **modulo di Young** del materiale.
Il rapporto tra deformazione trasversale e assiale definisce il **coefficiente di Poisson** $\nu$:
$\color {orange} \nu = -\frac{\varepsilon_{l}}{\varepsilon_{a}}$
Nelle prove dinamiche (DMA - *Dynamic Mechanical Analysis*), sollecitando il provino con carichi sinusoidali, si definisce un modulo di elasticità complesso $\widehat{E}$:
$\widehat{E} = \frac{\sigma_r + i \sigma_i}{\varepsilon_r + i \varepsilon_i} = E_r + i E_i$
dove la parte reale $E_r$ rappresenta l'energia elastica conservata, mentre la parte immaginaria $E_i$ rappresenta l'energia dissipata.
![[Pasted image 20260602191858.png]]
### Misure di deformazione
#### Estensimetri meccanici e ottico-meccanici
Storicamente sviluppati per prove statiche, questi dispositivi convertono l'allungamento in uno spostamento leggibile tramite viti micrometriche, sistemi di leve meccaniche o leve ottiche.
![[Pasted image 20260602192108.png]]
#### Estensimetri elettrici a resistenza (*Strain Gauges*)
Gli estensimetri elettrici a resistenza si basano sulla seconda legge di Ohm:
$R = \frac{\rho \cdot L}{A}$
Differenziando la relazione e considerando la variazione geometrica del conduttore sotto deformazione, si ottiene la variazione relativa di resistenza:
$\frac{dR}{R} = \frac{d\rho}{\rho} - 2\frac{dD}{D} + \frac{dL}{L}$
Per i metalli, trascurando la variazione di resistività ($d\rho/\rho \approx 0$), si ricava:
$\frac{\Delta R}{R} = (1 + 2\nu) \varepsilon = K \varepsilon$
dove $K$ è il *gage factor* (o fattore di taratura), con valori tipici compresi tra 2 e 4. Gli estensimetri moderni sono realizzati in foglio metallico fotoinciso su supporto isolante. Possono essere considerati [[Strumenti di ordine zero|strumenti di ordine zero]].
![[Pasted image 20260602192406.png]]
Per determinare lo stato di deformazione piano si utilizzano le rosette estensimetriche, che integrano più griglie orientate lungo diverse direzioni.
##### Fattore di taratura
La [[Taratura statica|taratura statica]] del fattore $K$ viene eseguita dai costruttori tramite dispositivi a flessione costante.
![[Pasted image 20260602192427.png]]
Il fattore di taratura, così misurato, dipende dal materiale costituente la griglia e dalla temperatura. Il materiale ideale per realizzare la griglia dovrebbe avere:
- $\Delta R / R$ uguale in trazione e in compressione;
- gage factor $K$ più elevato possibile, cioè sensibilità alta;
- resistività $\rho$ elevata per poter avere grandi variazioni di resistenza con griglie di dimensioni contenute;
- resistenza a fatica elevata per le applicazioni nelle prove dinamiche;
- coefficiente di dilatazione termica simile al materiale su cui è applicato;
- limite di snervamento elevato per avere un elevato campo di misura.
Si raggiunge un compromesso tra le caratteristiche elencate, alcuni dei materiali comunemente usati per griglie estensimetriche sono quelli in tabella.
| Lega | Composizione | Gauge Factor $K$ | Resistività $\Omega\text{m} \cdot 10^{-8}$ | Coeff. di temp. $(\Delta R/R)/^\circ\text{C} \cdot 10^{-4}$ | Limite snervamento ($\text{N/m}^2 \cdot 10^6$) |
| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- |
| Costantana | $60\% \text{ Cu} - 40\% \text{ Ni}$ | 2.1 | 48 | 0.1 | 460 |
| Advance | $55\% \text{ Cu} - 45\% \text{ Ni}$ | 2.1 | 45 | 0.1 | - |
| Karma | $75\% \text{ Ni} - 20\% \text{ Cr} - \text{altri}$ | 2.1 | 125 | 0.2 | 1000 |
| Isoelastic | $36\% \text{ Ni} - 8\% \text{ Cr} + \text{Fe, C, W}$ | 3.6 | 105 | 1.75 | 1250 |
##### Compensazione termica
La temperatura agisce come [[Ingressi e disturbi negli strumenti di misura|ingresso di disturbo]], alterando la resistività della griglia e inducendo dilatazioni termiche differenziali tra griglia e materiale di supporto. Per annullare tale effetto si utilizzano estensimetri auto-compensati progettati per uno specifico materiale, tali da soddisfare la relazione:
$c_r = K(\alpha_g - \alpha_m)$
La procedura di installazione richiede un'accurata preparazione superficiale e l'applicazione di adesivi cianoacrilici o epossidici per garantire la perfetta trasmissione della deformazione.
![[Pasted image 20260602192258.png|150]]
#### Estensimetri piezoresistivi
Realizzati in materiale semiconduttore (es. silicio), presentano fattori di scala elevati ($K \approx 100 - 200$), ma mostrano una spiccata non linearità e sensibilità termica. La variazione di resistenza è dominata dalla variazione di resistività:
$\frac{\Delta\rho}{\rho} = \pi E \varepsilon$
#### Estensimetri in Fibra Ottica (FBG)
I sensori a reticolo di Bragg (*Fiber Bragg Grating*, FBG) sono sensori ottici intrinseci. Una variazione periodica dell'indice di rifrazione del nucleo della fibra riflette una specifica lunghezza d'onda di Bragg $\lambda_B$:
$\lambda_B = 2 n \Lambda$
La deformazione meccanica della fibra varia il passo del reticolo $\Lambda$, modificando $\lambda_B$. Consentono il multiplexing spaziale (più sensori su una singola fibra) e sono immuni da interferenze elettromagnetiche.
#### Elementi sensibili piezoelettrici
I materiali piezoelettrici (es. quarzo, PVDF) generano una carica elettrica $Q$ se sottoposti a deformazione meccanica $x_i$:
$Q = K_q x_i$
Elettricamente, il sensore equivale a un generatore di carica con capacità $C_a$ e resistenza interna $R_a$ in parallelo.
![[Pasted image 20260602192538.png]]
L'uso di un amplificatore di carica rende la sensibilità indipendente dalla capacità del cavo di collegamento.
![[Pasted image 20260602192545.png]]
La funzione di trasferimento complessiva è:
$\frac{e_{0}(i\omega)}{x_{i}(i\omega)} = -\frac{K_{f} \cdot j\omega\tau_{F}}{1 + j\omega\tau_{F}}$
con $\tau_F = R_f C_f$. Il sistema si comporta come un [[Filtri|filtro passa alto]], rendendo impossibile la misura di deformazioni puramente statiche ($\omega = 0$).
### Il Ponte di Wheatstone
Per convertire le variazioni di resistenza $\Delta R$ in segnali di tensione si utilizza il **ponte di Wheatstone.**
![[Pasted image 20260602192706.png]]
La tensione di uscita $e_{AC}$ in funzione della tensione di alimentazione $E_{ex}$ è definita da:
$e_{AC} = \left( \frac{R_1}{R_1 + R_4} - \frac{R_2}{R_2 + R_3} \right) E_{ex}$
Per piccole variazioni di resistenza rispetto al valore nominale $R$, si applica il principio di sovrapposizione degli effetti:
$\frac{e_{AC}}{E_{ex}} \approx \frac{1}{4} \left( \frac{\Delta R_1}{R} - \frac{\Delta R_2}{R} + \frac{\Delta R_3}{R} - \frac{\Delta R_4}{R} \right)$
Variazioni su lati adiacenti si sottraggono, mentre su lati opposti si sommano.
![[Pasted image 20260602192716.png]]
#### Ponte di impedenze
In corrente alternata (AC), il ponte può accogliere impedenze generiche $Z = R + i(\omega L - 1/\omega C)$ per condizionare sensori capacitivi o induttivi.
![[Pasted image 20260602192723.png]]
#### Configurazioni di collegamento
- **Quarto di ponte**: Un solo estensimetro attivo. Richiede autocompensazione termica.
- **Mezzo ponte**: Due estensimetri attivi su lati adiacenti. Consente la compensazione automatica della temperatura.
- **Ponte intero**: Quattro estensimetri attivi. Massimizza la sensibilità e compensa i disturbi termici.
#### Applicazioni Tipiche
##### 1. Misura di Trazione Assiale
Disponendo quattro estensimetri (due assiali 1, 3 e due trasversali 2, 4) su un albero soggetto a trazione $N$:
$\frac{e_{AC}}{E_{ex}} = \frac{K}{4} 2(1+\nu) \varepsilon_a$
La disposizione compensa flessione e temperatura, amplificando il segnale di un fattore $(2 + 2\nu)$.
![[Pasted image 20260602192806.png|200]]
##### 2. Misura di Flessione
Su una trave inflessa, posizionando due estensimetri in trazione (1, 4) e due in compressione (2, 3):
$\frac{e_{AC}}{E_{ex}} = K \varepsilon$
Il fattore di ponte è pari a 4, con reiezione intrinseca delle sollecitazioni assiali e termiche.
![[Pasted image 20260602192831.png|200]]
### Esempi ed esercizi
##### Domande di teoria
- [ ] Dimostrare la relazione teorica che lega il fattore di taratura $K$ di un estensimetro metallico al coefficiente di Poisson $\nu$ del materiale della griglia.
- [ ] Spiegare perché la configurazione a mezzo ponte di Wheatstone garantisce la compensazione degli effetti termici.
##### Esercizi
- [ ] Esempi 7.1-7.2 | Rossi
- [ ] Quesiti ed esercizi di fine capitolo 7 | Rossi
- [ ] Un estensimetro con resistenza nominale $R = 120\ \Omega$ e fattore di taratura $K = 2.0$ è incollato su una barra d'acciaio ($E = 206000 \text{ MPa}$). A seguito dell'applicazione di un carico, si misura una variazione di resistenza $\Delta R = 0.24\ \Omega$. Calcolare la deformazione subita dalla barra e la corrispondente tensione meccanica $\sigma$.
- [ ] Un ponte di Wheatstone a ponte intero è configurato per la misura di flessione su una trave. La tensione di alimentazione è $E_{ex} = 5 \text{ V}$ e il fattore di taratura degli estensimetri è $K = 2.1$. Se la deformazione massima sulla superficie della trave è $\varepsilon = 500\ \mu\varepsilon$, determinare la tensione di sbilanciamento in uscita $e_{AC}$ del ponte.
### Collegamenti
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> [!info]- Risorse
> ![[!Misure meccaniche e termiche#Risorse#Bibliografia]]
> ![[!Misure meccaniche e termiche#Risorse#Approfondimenti]]