Il modello dinamico descrive la relazione temporale tra la grandezza fisica in ingresso $q_i(t)$ e la risposta in uscita $q_o(t)$ di un sistema di misura. A differenza della [[Taratura statica|caratterizzazione statica]], questo modello è essenziale per analizzare segnali variabili nel tempo, dove inerzie e ritardi impediscono una risposta istantanea dello strumento. #### L'equazione differenziale fondamentale Il comportamento di uno strumento di misura può essere modellato matematicamente attraverso un'[[Equazioni differenziali lineari|equazione differenziale lineare]] a coefficienti costanti. Questa equazione lega le derivate temporali dell'uscita a quelle dell'ingresso, riflettendo le proprietà fisiche (massa, capacità termica, smorzamento) del sensore: $ a_n \frac{d^n q_o}{dt^n} + a_{n-1} \frac{d^{n-1} q_o}{dt^{n-1}} + \dots + a_1 \frac{dq_o}{dt} + a_0 q_o = b_m \frac{d^m q_i}{dt^m} + \dots + b_1 \frac{dq_i}{dt} + b_0 q_i $ I coefficienti $a_n$ e $b_m$ rappresentano le [[Caratteristiche degli strumenti di misura|caratteristiche fisiche]] del sistema. In ambito metrologico, l'ordine dell'equazione definisce la complessità dello strumento, potendo differenziare in: - [[Strumenti di ordine zero]] - [[Strumenti di ordine uno]] - [[Strumenti di ordine due]] #### Funzione di trasferimento Per semplificare l'analisi, si introduce l'operatore di derivazione $D = \frac{d}{dt}$. La funzione di trasferimento operazionale è definita come il rapporto tra i polinomi operatore dell'uscita e dell'ingresso: $ \frac{q_o}{q_i}(D) = \frac{b_m D^m + b_{m-1} D^{m-1} + \dots + b_0}{a_n D^n + a_{n-1} D^{n-1} + \dots + a_0} $ Sostituendo $D$ con il numero complesso $i\omega$, si ottiene la funzione di trasferimento sinusoidale $G(i\omega)$. Questa funzione descrive come lo strumento modifica l'ampiezza e la fase di un segnale sinusoidale a regime: - Il modulo $M(\omega) = |G(i\omega)|$ rappresenta il rapporto tra l'ampiezza dell'uscita $A_o$ e quella dell'ingresso $A_i$. - La fase $\phi(\omega) = \arg(G(i\omega))$ rappresenta lo sfasamento temporale tra i due segnali. #### Composizione di catene di misura In una catena di misura complessa (sensore, amplificatore, filtro), se gli [[Effetti di carico|effetti di carico]] sono trascurabili (ovvero l'impedenza d'ingresso di ogni stadio è molto elevata rispetto a quella d'uscita dello stadio precedente), la funzione di trasferimento complessiva è il prodotto delle singole funzioni: $ G_{tot}(D) = G_1(D) \cdot G_2(D) \cdot \dots \cdot G_n(D) $ #### Analisi nel dominio di Laplace La [[Trasformata di Laplace]] $\mathcal{L}[f(t)] = \bar{f}(s)$ converte l'equazione differenziale in un'equazione algebrica nel dominio della variabile complessa $s = \sigma + i\omega$. La **funzione di trasferimento di Laplace** $G(s)$ permette di calcolare la risposta temporale $q_o(t)$ per qualsiasi ingresso $q_i(t)$ tramite l'operazione di anti-trasformata: $ \bar{q}_o(s) = G(s) \cdot \bar{q}_i(s) \implies q_o(t) = \mathcal{L}^{-1}[G(s) \cdot \bar{q}_i(s)] $ ### Esempi ed esercizi Immagina di immergere un termometro (inizialmente a $20^{\circ}C$) in acqua bollente ($100^{\circ}C$). Il termometro non segnerà immediatamente $100^{\circ}C$ perché il calore deve "viaggiare" attraverso il vetro e il liquido interno. - **L'ingresso ($q_i$):** È un gradino improvviso di temperatura. - **L'inerzia:** Il termometro ha una "capacità termica" che agisce come un freno. - **La risposta:** La temperatura letta salirà seguendo una curva esponenziale. Il tempo necessario per raggiungere il valore finale dipende dalla "costante di tempo" dello strumento, che è un parametro del suo [[Modello dinamico degli strumenti di misura|modello dinamico]]. Se la costante è alta, il termometro è "lento" o "pigro". ##### Domande di teoria - Spiega la differenza tra la risposta transitoria e la risposta a regime di uno strumento. - Qual è la condizione necessaria affinché la funzione di trasferimento di una catena di misura sia il prodotto delle singole funzioni? ### Collegamenti --- > [!info]- Risorse > ![[!Misure meccaniche e termiche#Risorse#Bibliografia]] > ![[!Misure meccaniche e termiche#Risorse#Approfondimenti]]