Gli **strumenti di ordine due** sono sistemi di misura il cui comportamento è descritto da un'[[Equazioni differenziali lineari del secondo ordine|equazione differenziale lineare del secondo ordine]] a coefficienti costanti. A differenza degli [[Strumenti di ordine uno]], questi sistemi possono presentare oscillazioni dovute alla presenza di due elementi in grado di immagazzinare energia in forme diverse. #### Modello matematico e parametri caratteristici Partendo dal [[Modello dinamico degli strumenti di misura|modello dinamico]] generale, considerando nulli i coefficienti di ordine superiore al secondo, si ottiene: $\color {green} a_{2} \frac{d^{2} q_{o}}{d t^{2}}+a_{1} \frac{d q_{o}}{d t}+a_{0} q_{o}=b_{0} q_{i} $ Per facilitare l'analisi fisica, si definiscono tre parametri fondamentali: - **Sensibilità statica ($K$)**: definita come $K = b_0/a_0$, rappresenta il rapporto tra uscita e ingresso in condizioni stazionarie (derivate nulle) - **Pulsazione naturale non smorzata ($\omega_n$)**: definita come $\omega_{n}=\sqrt{a_{0}/a_{2}}$, indica la frequenza a cui il sistema oscillerebbe in assenza di dissipazione. - **Rapporto di smorzamento ($\xi$)**: definito come $\xi = \frac{a_{1}}{2\sqrt{a_{0} a_{2}}}$, determina la capacità del sistema di dissipare energia e influenza la natura della risposta transitoria. Utilizzando la [[Trasformata di Laplace]], la **funzione di trasferimento** $G(s)$ si scrive in funzione dei coefficienti sopra definiti come: $ KG(s) = \frac{q_{o}(s)}{q_{i}(s)} = \frac{K}{\frac{s^{2}}{\omega_{n}^{2}}+\frac{2 \xi s}{\omega_{n}}+1} $ ### Esempi #### Bilancia a molla In una [[Oscillatore meccanico|bilancia a molla]], la forza in ingresso $F$ produce uno spostamento $x$. Applicando la seconda legge della dinamica: $ m \ddot{x} + \lambda \dot{x} + k x = F $ Dove $m$ è la massa, $\lambda$ il coefficiente di smorzamento viscoso e $k$ la rigidezza della molla. In questo caso, $\omega_n = \sqrt{k/m}$ e $\xi = \lambda / (2\sqrt{km})$. #### Circuito RLC In un [[Circuito RLC]] con resistenza $R$, induttanza $L$ e capacità $C$ in serie, la tensione applicata $V$ è legata alla carica $q$ dalla relazione: $ L \ddot{q} + R \dot{q} + \frac{1}{C} q = V $ L'analogia con il sistema meccanico è diretta: l'induttanza $L$ funge da massa (inerzia), la resistenza $R$ da smorzatore e la capacità $1/C$ da molla. ### Analisi della risposta dinamica #### Risposta al gradino unitario La natura della risposta dipende esclusivamente dal valore di $\xi$: - **Sottosmorzamento ($\xi < 1$)**: Il sistema oscilla attorno al valore finale prima di stabilizzarsi. - **Smorzamento critico ($\xi = 1$)**: Il sistema raggiunge il valore finale nel minor tempo possibile senza oscillazioni. - **Sovrasmorzamento ($\xi > 1$)**: La risposta è lenta e priva di oscillazioni, simile a quella di un sistema del primo ordine. ![[Pasted image 20260511161306.png]] #### Risposta alla rampa e all'impulso Nella **risposta alla rampa**, l'uscita segue l'ingresso con un ritardo temporale pari a $2\xi/\omega_n$. Per minimizzare l'errore dinamico in misure di grandezze variabili linearmente, è necessario un valore di $\omega_n$ elevato. La **risposta all'impulso**, invece, mostra il decadimento delle oscillazioni libere del sistema. ![[Pasted image 20260511161228.png]] ### Risposta in frequenza e risonanza Sostituendo $s = i\omega$ nella funzione di trasferimento, si ottengono il rapporto di ampiezza e la fase: $ |G(i \omega)|=\frac{1}{\sqrt{\left(1-\frac{\omega^{2}}{\omega_{n}^{2}}\right)^{2}+4 \xi^{2} \frac{\omega^{2}}{\omega_{n}^{2}}}} $ Per $\xi < 1/\sqrt{2} \approx 0.707$, il rapporto di ampiezza presenta un picco in corrispondenza della **frequenza di risonanza** $\omega_R$: $ \omega_{R}=\omega_{n} \sqrt{1-2 \xi^{2}} $ In questa condizione, lo strumento amplifica il segnale in ingresso, introducendo una distorsione significativa. Per una misura accurata, la frequenza massima del segnale deve essere molto inferiore a $\omega_R$. ![[Pasted image 20260511160050.png]] *FIGURA: Risposta in frequenza* ### Esempi ed esercizi Immaginiamo le sospensioni di un'auto. La molla sostiene il peso (rigidezza $k$), mentre l'ammortizzatore dissipa l'energia (smorzamento $\lambda$). - Se l'ammortizzatore è scarico ($\xi$ molto basso), l'auto continua a rimbalzare dopo una buca (sottosmorzamento). - Se l'ammortizzatore è troppo rigido ($\xi > 1$), l'auto impiega molto tempo a tornare alla posizione di equilibrio (sovrasmorzamento). - Il setup ideale è vicino allo smorzamento critico ($\xi \approx 0.7-1$), dove l'auto torna stabile rapidamente senza oscillare troppo. In metrologia, cerchiamo questo equilibrio per avere strumenti pronti e precisi. ##### Domande di teoria - Spiegare il significato fisico del rapporto di smorzamento $\xi$ e come influenza la risposta al gradino. - Definire la frequenza di risonanza e discutere le sue implicazioni nella scelta di uno strumento di misura. - Qual è la relazione tra i parametri di un circuito RLC e quelli del modello generale del secondo ordine? ### Collegamenti --- *Per risposte, ulteriori esercizi e approfondimenti consultare le risorse di riferimento.* > [!info]- Risorse > ![[!Misure meccaniche e termiche#Risorse#Bibliografia]] > ![[!Misure meccaniche e termiche#Risorse#Approfondimenti]] --- > [!danger] Info > ![[!Misure meccaniche e termiche#Collegamenti]]