Gli **strumenti di ordine uno** sono sistemi dinamici caratterizzati dalla presenza di un elemento capace di accumulare energia e di un elemento dissipativo. La loro risposta temporale non è istantanea, ma è governata da un parametro fondamentale denominato costante di tempo, che determina la velocità con cui lo strumento si adegua alle variazioni dell'ingresso. #### Modello matematico e parametri caratteristici Il comportamento di uno strumento di ordine uno è descritto da un'equazione differenziale lineare a coefficienti costanti del primo ordine. Partendo dal [[Modello dinamico degli strumenti di misura|modello dinamico]] generale, considerando nulli i coefficienti di ordine superiore al primo, si ottiene: $ a_1 \frac{dq_o}{dt} + a_0 q_o = b_0 q_i $ Dividendo per $a_0$, l'equazione assume la forma canonica: $\color {green} \tau \frac{dq_o}{dt} + q_o = k q_i $ Dove i parametri fondamentali sono: - $k = \frac{b_0}{a_0}$: la **[[Caratteristiche degli strumenti di misura|sensibilità statica]]**, che rappresenta il rapporto tra uscita e ingresso in condizioni stazionarie *(quando le derivate sono nulle)* - $\tau = \frac{a_1}{a_0}$: la **costante di tempo**, che quantifica l'**inerzia del sistema.** La **funzione di trasferimento operazionale** è data da: $ \frac{q_o}{q_i}(D) = \frac{k}{\tau D + 1} $ #### Analogie fisiche Molti sensori seguono questo modello. Un esempio classico è il **termometro a bulbo**, dove il bilancio energetico tra il calore scambiato per convezione e l'energia accumulata dal fluido termometrico porta a: $ hA(T_f - T_b) = V \rho c_p \frac{dT_b}{dt} \implies \frac{V \rho c_p}{hA} \frac{dT_b}{dt} + T_b = T_f $ In questo caso, $\tau = \frac{V \rho c_p}{hA}$. Il modello di ordine uno è applicabile a diversi domini fisici: | Dominio | Costante di tempo $\tau$ | Resistenza $R$ | Capacità $C$ | | :--- | :--- | :--- | :--- | | Termico | $\tau_{Th} = \frac{MC}{UA}$ | $R_{Th} = \frac{1}{UA}$ | $C_{Th} = MC$ | | Fluido | $\tau_{F} = \frac{A_F R_F}{\rho g}$ | $R_F = R_F$ | $C_F = \frac{A_F}{\rho g}$ | | Elettrico | $\tau_{E} = RC$ | $R_E = R$ | $C_E = C$ | | Meccanico | $\tau_{M} = \frac{\lambda}{k}$ | $R_M = \lambda$ | $C_M = \frac{1}{k}$ | #### Risposta a ingressi standard L'analisi delle prestazioni dinamiche avviene tramite ingressi campione: 1. **Ingresso a gradino ($q_{is}$)** L'uscita segue una legge esponenziale: $ q_o(t) = k q_{is} (1 - e^{-t/\tau}) $ Per $t = \tau$, lo strumento raggiunge circa il $63.2\%$ del valore finale. L'errore dinamico diminuisce col tempo, tendendo asintoticamente a zero. 2. **Ingresso a Rampa ($\dot{q}_{is} t$)**: L'uscita a regime è: $ q_o(t) = k \dot{q}_{is} (t - \tau) $ Si manifesta un errore di inseguimento costante pari a $k \dot{q}_{is} \tau$. Lo strumento fornisce il valore corretto con un ritardo temporale pari a $\tau$. 3. **Ingresso a Impulso (Area $A$)** La risposta è un decadimento esponenziale che parte da un valore massimo: $ q_o(t) = \frac{kA}{\tau} e^{-t/\tau} $ ![[Pasted image 20260511155714.png]] #### Risposta in frequenza Sostituendo $s = i\omega$ nella funzione di trasferimento di Laplace $G(s) = \frac{k}{1 + \tau s}$, si ottiene la funzione di trasferimento sinusoidale: - **Modulo**: $M(\omega) = \frac{k}{\sqrt{1 + (\omega\tau)^2}}$ - **Fase**: $\phi(\omega) = -\arctan(\omega\tau)$ All'aumentare della frequenza $\omega$, il modulo diminuisce (lo strumento attenua il segnale) e lo sfasamento aumenta fino a $-90^{\circ}$. Alla frequenza di taglio $\omega = 1/\tau$, il modulo è ridotto di $1/\sqrt{2}$ (circa $-3 dB$) e la fase è $-45^{\circ}$. ![[Pasted image 20260511155748.png]] ### Esempi ed esercizi Immagina di avere un sensore di temperatura "pigro". Quando lo immergi in acqua calda, non segna subito la temperatura corretta perché deve prima assorbire calore per scaldare se stesso. La sua "pigrizia" è misurata da $\tau$. Se $\tau = 10 s$, dopo 10 secondi il sensore avrà percorso il $63\%$ della strada verso la temperatura reale. Se vuoi una misura precisa al $99\%$, dovrai aspettare circa $5\tau$ (ovvero 50 secondi). Questo ritardo è fondamentale nella [[Taratura dinamica]] per capire se lo strumento è adatto a seguire fenomeni rapidi. ##### Domande di teoria - Perché uno strumento di ordine uno introduce un errore costante nella misura di una rampa? - Come varia lo sfasamento della risposta sinusoidale al variare della frequenza? ##### Esercizi - Esempio 4.1 | Rossi: Verificare le analogie tra sistemi fluidi e meccanici calcolando le rispettive costanti di tempo. ### Collegamenti --- *Per risposte, ulteriori esercizi e approfondimenti consultare le risorse di riferimento.* > [!info]- Risorse > ![[!Misure meccaniche e termiche#Risorse#Bibliografia]] > ![[!Misure meccaniche e termiche#Risorse#Approfondimenti]] --- > [!danger] Info > ![[!Misure meccaniche e termiche#Collegamenti]]