Gli **strumenti di ordine zero** rappresentano il modello dinamico più semplice, in cui l'uscita segue istantaneamente l'ingresso senza ritardi temporali o distorsioni di forma, mantenendo un rapporto di proporzionalità costante definito dalla sensibilità statica. #### Definizione e modello matematico Uno strumento di ordine zero è descritto da un'**equazione differenziale** in cui tutti i coefficienti, eccetto quelli di ordine zero, sono nulli. Partendo dal [[Modello dinamico degli strumenti di misura|modello dinamico]] generale, l'equazione si riduce a: $ a_0 q_o(t) = b_0 q_i(t) $ Esplicitando l'uscita $q_o(t)$, si ottiene la relazione fondamentale: $ \color {green} q_o(t) = \frac{b_0}{a_0} q_i(t) = k q_i(t) $ Il parametro $k$ rappresenta la [[Caratteristiche degli strumenti di misura|sensibilità statica]] dello strumento. In questo modello, l'uscita è una replica esatta dell'ingresso, scalata del fattore $k$, indipendentemente dalla rapidità con cui l'ingresso varia nel tempo. #### Risposta in frequenza Analizzando il comportamento nel [[Fasori|dominio della frequenza]], la funzione di trasferimento sinusoidale risulta essere una costante reale: $ G(i\omega) = k $ Questo implica che: - Il modulo $M(\omega) = k$ è costante per ogni frequenza $\omega$. - La fase $\phi(\omega) = 0$ per ogni frequenza $\omega$. Uno strumento di ordine zero ideale non introduce alcuno sfasamento e non attenua le componenti ad alta frequenza del segnale, rendendolo perfetto per la misura di segnali dinamici complessi. ### Esempi di strumenti di ordine zero #### Il Potenziometro È un **trasduttore di spostamento** che utilizza un contatto strisciante su una resistenza. La tensione di uscita $e_o$ è proporzionale alla posizione $x_i$ del cursore: - $e_o = \frac{E_b}{L} x_i$ - Sensibilità $k = \frac{E_b}{L}$ | Potenziometro | Circuito equivalente | | ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- | ------------------------------------ | | ![[250px-Potentiometer.jpg]] | ![[Pasted image 20260511154832.png]] | | <a href="https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Potentiometer.jpg">Iainf</a>, <a href="http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/">CC BY-SA 3.0</a>, via Wikimedia Commons | | #### L'Amplificatore operazionale (Op-Amp) In configurazioni ideali, l'Op-Amp si comporta come un sistema di ordine zero. | Amplificatore operazionale | Simbolo elettrico | Piedinatura | | ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- | ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- | ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ | | ![[330px-Ua741_opamp.jpg]] | ![[330px-Op-amp_symbol.svg.png]] | ![[330px-LM741_Pinout_Square-it.svg.png]] | | <a href="https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Ua741_opamp.jpg">Teravolt di Wikipedia in inglese</a>, <a href="https://creativecommons.org/licenses/by/3.0">CC BY 3.0</a>, da Wikimedia Commons | <a href="https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Op-amp_symbol.svg">Omegatron</a>, <a href="https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0">CC BY-SA 3.0</a>, da Wikimedia Commons | <a href="https://commons.wikimedia.org/wiki/File:LM741_Pinout_Square-it.svg">Galessandroni based on the work of Inductiveload</a>, CC0, da Wikimedia Commons | Le configurazioni principali sono: - **Invertente**: $e_o(t) = -e_s(t) \frac{R_f}{R_s}$. Il guadagno è $G = -\frac{R_f}{R_s}$. - **Non Invertente**: $e_o(t) = e_s(t) (1 + \frac{R_f}{R_s})$. Il guadagno è $G = 1 + \frac{R_f}{R_s}$. | Configurazione invertente | Configurazione non invertente | | ------------------------------------ | ------------------------------------ | | ![[Pasted image 20260511160747.png]] | ![[Pasted image 20260511160724.png]] | Tuttavia, gli amplificatori reali presentano limiti dinamici definiti dal prodotto Guadagno-Banda ($A_v \cdot BW = \text{cost}$). All'aumentare del guadagno richiesto, la banda passante diminuisce, e lo strumento smette di comportarsi come un ordine zero puro. ![[Pasted image 20260511155527.png]] ##### Elaborazione analogica dei segnali Oltre alla semplice amplificazione, l'Op-Amp permette anche di eseguire operazioni matematiche sui segnali elettrici: - **Sommatore**: Permette di sommare più tensioni d'ingresso. La relazione è definita dalla presenza di interruttori $I_j$ che attivano i coefficienti $b_j$ (0 o 1): $ e_o = -\left( \frac{R_f}{R_1} e_1 + \frac{R_f}{R_2} e_2 + \dots + \frac{R_f}{R_n} e_n \right) $ - **Integratore**: Utilizza un condensatore nel ramo di controreazione. L'uscita corrisponde all'integrale nel tempo della tensione d'ingresso. Assumendo condizioni iniziali nulle e condensatore scarico a $t=0$: $ e_o(t) = -\frac{1}{RC} \int_{0}^{t} e_i(\tau) d\tau $ - **Derivatore**: Utilizza un condensatore in ingresso. L'uscita è proporzionale alla derivata temporale della tensione d'ingresso: $ e_o(t) = -RC \frac{de_i(t)}{dt} $ ### Esempi ed esercizi Immagina uno strumento di ordine zero come uno specchio perfetto. Se alzi la mano (ingresso $q_i$), il tuo riflesso (uscita $q_o$) alza la mano nello stesso identico istante. Non c'è un ritardo dovuto al peso della mano o alla velocità della luce percepibile. Se ti muovi velocemente o lentamente, lo specchio ti segue sempre fedelmente. Il "guadagno" dello specchio è 1 (stessa dimensione), ma se fosse uno specchio deformante che raddoppia le dimensioni, il guadagno $k$ sarebbe 2. In ogni caso, la forma del movimento rimane identica. ##### Domande di teoria - Qual è il significato fisico del fatto che la fase $\phi$ sia nulla per ogni frequenza? - In quali condizioni un amplificatore operazionale reale può essere considerato uno strumento di ordine zero? ### Collegamenti --- *Per risposte, ulteriori esercizi e approfondimenti consultare le risorse di riferimento.* > [!info]- Risorse > ![[!Misure meccaniche e termiche#Risorse#Bibliografia]] > ![[!Misure meccaniche e termiche#Risorse#Approfondimenti]] --- > [!danger] Info > ![[!Misure meccaniche e termiche#Collegamenti]]