Il **determinante** è una [[Funzioni|funzione]] che associa a ogni [[Matrici|matrice quadrata]] un numero reale o complesso. Questo valore è fondamentale in algebra lineare poiché fornisce informazioni cruciali sulla matrice stessa. Ad esempio, una [[Matrici invertibili|matrice è invertibile]] se e solo se il suo determinante è diverso da zero. Formalmente si dice che, per una matrice quadrata $A = [a_{ij}]$ di dimensione $n \times n$, il determinante $\det(A)$ è dato da: $ \det(A) = \sum_{j=1}^{n} (-1)^{i+j} a_{ij} \det(A_{ij}) $ dove $A_{ij}$ è la matrice ottenuta eliminando la $i$-esima riga e la $j$-esima colonna da $A$, e $i$ è fissato (solitamente $i=1$). #### Matrici $2 \times 2$ Per una matrice $2 \times 2$: $ A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} $ il determinante è calcolato come: $ \det(A) = ad - bc $ #### Matrici $3 \times 3$ Per una matrice $3 \times 3$: $ A = \begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{pmatrix} $ il determinante è calcolato come: $ \det(A) = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg) $ #### Proprietà del Determinante 1. **Linearità**: Il determinante è una funzione lineare rispetto alle righe e alle colonne della matrice. 2. **Scambio di Righe/Colonne**: Scambiare due righe o colonne di una matrice cambia il segno del determinante. 3. **Riga/Colonna di Zeri**: Se una matrice ha una riga o una colonna di zeri, il suo determinante è zero. 4. **Matrice Triangolare**: Il determinante di una matrice triangolare (superiore o inferiore) è il prodotto degli elementi sulla diagonale principale. #### Calcolo tramite Decomposizione Un metodo efficiente per calcolare il determinante di matrici di grandi dimensioni è tramite la decomposizione LU, dove una matrice $A$ è fattorizzata come $A = LU$, con $L$ matrice triangolare inferiore e $U$ matrice triangolare superiore. Il determinante di $A$ è quindi il prodotto dei determinanti di $L$ e $U$, che sono il prodotto degli elementi diagonali di $U$ (poiché il determinante di $L$ è 1): $ \det(A) = \det(L) \cdot \det(U) = \prod_{i=1}^{n} u_{ii} $ dove $u_{ii}$ sono gli elementi diagonali di $U$. #### Visuals ---