Sia $\mathbf{A}$ una [[Matrici|matrice]] $N \times N$ simmetrica e definita positiva. Per definizione, ciò implica che: - $\mathbf{A} = \mathbf{A}^{T}$ (simmetria canonica). - $\mathbf{v} \cdot \mathbf{A}\mathbf{v} > 0$ per ogni [[Vettori|vettore]] $\mathbf{v} \neq 0$. Sia inoltre $\mathbf{B}$ una matrice $N \times N$ simmetrica. Il teorema afferma che esiste una base di vettori $\{\mathbf{v}_{1}, \dots, \mathbf{v}_{N}\}$ che risulta ortonormale rispetto al [[Prodotto scalare|prodotto scalare]] indotto da $\mathbf{A}$, definibile come: $\color {green} (\mathbf{u}, \mathbf{v})_{\mathbf{A}} = \mathbf{u} \cdot \mathbf{A}\mathbf{v}$ In tale base, le matrici $\mathbf{A}$ e $\mathbf{B}$ si trasformano rispettivamente nella matrice identità $\mathbf{I}$ e in una matrice diagonale $\mathbf{\Lambda}$. Gli elementi diagonali di $\mathbf{\Lambda}$ corrispondono alle radici del [[Polinomio caratteristico|polinomio caratteristico]] generalizzato: $\color {green} \operatorname{det}(\mathbf{B} - \mu \mathbf{A}) = 0$ #### Dimostrazione La dimostrazione si articola sulla costruzione di un operatore che erediti le proprietà di simmetria rispetto a una metrica non euclidea. ##### 1. Definizione della metrica associata Poiché $\mathbf{A}$ è definita positiva, l'operazione $(\mathbf{u}, \mathbf{v})_{\mathbf{A}} = \mathbf{u} \cdot \mathbf{A}\mathbf{v}$ soddisfa tutti gli assiomi di un prodotto scalare (bilinearità, simmetria e positività). Possiamo quindi trattare lo [[Spazio vettoriale|spazio vettoriale]] come uno spazio euclideo dotato di questa metrica specifica. ##### 2. L'operatore di trasferimento Consideriamo l'operatore definito dalla matrice $\mathbf{C} = \mathbf{A}^{-1}\mathbf{B}$. Sebbene $\mathbf{C}$ non sia necessariamente simmetrica nel senso classico ($\mathbf{C} \neq \mathbf{C}^T$), essa risulta autoaggiunta (simmetrica) rispetto al prodotto scalare indotto da $\mathbf{A}$. Infatti: $(\mathbf{u}, \mathbf{C}\mathbf{v})_{\mathbf{A}} = \mathbf{u} \cdot \mathbf{A}(\mathbf{A}^{-1}\mathbf{B})\mathbf{v} = \mathbf{u} \cdot \mathbf{B}\mathbf{v}$ Sfruttando la simmetria di $\mathbf{B}$ e il fatto che il prodotto scalare canonico è commutativo: $\mathbf{u} \cdot \mathbf{B}\mathbf{v} = \mathbf{B}\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = (\mathbf{A}\mathbf{A}^{-1}\mathbf{B}\mathbf{u}) \cdot \mathbf{v} = (\mathbf{C}\mathbf{u}) \cdot \mathbf{A}\mathbf{v} = (\mathbf{C}\mathbf{u}, \mathbf{v})_{\mathbf{A}}$ ##### 3. Applicazione del Teorema Spettrale Per il [[Teorema spettrale|teorema spettrale]], un operatore simmetrico rispetto a un prodotto scalare ammette una base di [[Autovalori e autovettori|autovettori]] ortonormale rispetto a quel prodotto. Esiste quindi una base $\{\mathbf{v}_{k}\}$ tale che: - $\mathbf{C}\mathbf{v}_{k} = \mu_{k}\mathbf{v}_{k}$ - $(\mathbf{v}_{j}, \mathbf{v}_{k})_{\mathbf{A}} = \delta_{jk}$ Sostituendo la definizione di $\mathbf{C}$, otteniamo l'equazione agli autovalori generalizzata: $\mathbf{A}^{-1}\mathbf{B}\mathbf{v}_{k} = \mu_{k}\mathbf{v}_{k} \implies \mathbf{B}\mathbf{v}_{k} = \mu_{k}\mathbf{A}\mathbf{v}_{k}$ che equivale a cercare le radici di $\operatorname{det}(\mathbf{B} - \mu \mathbf{A}) = 0$. #### Rappresentazione nelle nuove coordinate Nella base $\{\mathbf{v}_{k}\}$, i componenti delle matrici (indicati con $a_{jk}$ e $b_{jk}$) sono: - $a_{jk} = \mathbf{v}_{j} \cdot \mathbf{A}\mathbf{v}_{k} = (\mathbf{v}_{j}, \mathbf{v}_{k})_{\mathbf{A}} = \delta_{jk}$ - $b_{jk} = \mathbf{v}_{j} \cdot \mathbf{B}\mathbf{v}_{k} = \mathbf{v}_{j} \cdot \mathbf{A}(\mathbf{C}\mathbf{v}_{k}) = \mu_{k}(\mathbf{v}_{j}, \mathbf{v}_{k})_{\mathbf{A}} = \mu_{k}\delta_{jk}$ Questo dimostra che $\mathbf{A}$ diventa l'identità e $\mathbf{B}$ diventa diagonale. In fisica, questo risultato è cruciale quando $\mathbf{A}$ rappresenta la [[Matrice di massa|matrice di massa]] e $\mathbf{B}$ la matrice delle rigidezze (energia potenziale): la diagonalizzazione simultanea permette di disaccoppiare le equazioni del moto. ### Collegamenti --- > [!info]- Risorse > ![[!Algebra#Risorse#Bibliografia]] > ![[!meccanica Razionale#Risorse#Bibliografia]] > ![[!Algebra#Risorse#Approfondimenti]]