### Definizione operativa Quando si studiano le piccole oscillazioni attorno a un equilibrio $q_0$, si linearizza il problema e si arriva in genere a un sistema del tipo $M \ddot{\eta} + K \eta = 0$, dove $M$ è la matrice di massa e $K$ la matrice “elastica”. Cercando soluzioni del tipo $\eta(t) = v e^{i \omega t}$, il problema si riduce all’equazione agli autovalori $\big(K - \omega^2 M\big)v = 0$. Per avere soluzioni non banali, il determinante deve annullarsi: $ \det(K - \omega^2 M) = 0 . $ Questa equazione in $\omega^2$ (o in $\lambda = \omega^2$) è proprio quella che in meccanica razionale si chiama **equazione secolare**. ### Forma tipica e significato Nel caso a 2 gradi di libertà, l’equazione secolare è un’equazione quadratica del tipo $\lambda^2 - \lambda \,\mathrm{Tr}A + \det A = 0$, dove $A = M^{-1}K$, $\mathrm{Tr}A$ è la traccia e $\det A$ il determinante. Le radici $\lambda_1, \lambda_2, \dots$ sono gli autovalori e, nel contesto delle piccole oscillazioni, danno i quadrati delle frequenze proprie $\omega_i^2$ del sistema. Queste stesse equazioni, sempre sotto il nome di equazioni secolari, compaiono anche in altri contesti meccanici (per esempio nello stato di sforzo in Scienza delle Costruzioni, dove le radici rappresentano le tensioni principali). #### Origine del termine “secolare” Il termine “secolare” è storico: viene dalla meccanica celeste, dove si studiavano le variazioni lente (su scale di secoli) delle orbite planetarie tramite metodi perturbativi, e le equazioni sugli autovalori associate a queste variazioni furono chiamate “equazioni secolari”. La terminologia è poi rimasta e oggi indica in generale l’equazione agli autovalori che caratterizza i modi propri in problemi meccanici lineari.