Per ogni numero reale $x$ (espresso in radianti), la **formula di Eulero** è definita come: $\color {green} e^{j x} = \cos x + j \sin x $ Dove: - $e$ è la base dei logaritmi naturali. - $j$ è l'unità immaginaria ($j^2 = -1$). In ambito ingegneristico si usa spesso $j$ al posto di $i$ per non confonderla con la corrente elettrica. - $\cos x$ e $\sin x$ sono le funzioni trigonometriche. Questa formula permette di visualizzare un numero complesso di modulo unitario come un punto sulla circonferenza goniometrica nel piano complesso. #### Formule inverse Partendo dalla formula di Eulero e dalla sua coniugata $e^{-j x} = \cos x - j \sin x$, è possibile isolare le funzioni trigonometriche: Il **coseno** è la parte reale dell'esponenziale complesso: $ \cos x = \frac{e^{j x} + e^{-j x}}{2} $ Il **seno** è legato alla parte immaginaria: $ \sin x = \frac{e^{j x} - e^{-j x}}{2 j} $ #### Identità di Eulero Un caso particolare della formula si ottiene ponendo $x = \pi$: $ e^{j \pi} + 1 = 0 $ Questa è considerata una delle formule più eleganti della matematica, poiché mette in relazione le cinque costanti fondamentali: $0, 1, e, j, \pi$. --- > [!info]- Risorse > ![[!Algebra#Risorse#Bibliografia]] > ![[!Algebra#Risorse#Approfondimenti]] --- > [!example] Playlist > ![[!Algebra#Risorse#Formula di Eulero]]