Il gruppo ortogonale è l'insieme delle trasformazioni lineari che preservano la struttura metrica dello spazio euclideo, mantenendo invariati i prodotti scalari tra i vettori. Tali trasformazioni rappresentano le isometrie lineari dello spazio, includendo rotazioni e riflessioni.
#### Definizione e invarianza metrica
Una [[Trasformazioni lineari|trasformazione lineare]] $\mathbf{Q}$ operante su uno spazio euclideo $\mathbb{R}^{n}$ si definisce ortogonale se conserva il [[Prodotto scalare|prodotto scalare]] tra ogni coppia di [[Vettori|vettori]] $\mathbf{u}$ e $\mathbf{v}$:
$ \color {orange}
\begin{equation*}
\mathbf{Q u} \cdot \mathbf{Q v}=\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} \quad \forall \mathbf{u}, \mathbf{v} \in \mathbb{R}^{n}
\end{equation*}
$
L'immediata conseguenza geometrica di questa proprietà è la conservazione della norma (lunghezza) di ogni vettore e degli angoli formati tra essi. Sotto l'azione di una trasformazione ortogonale, una [[Basi ortogonali e ortonormali|base ortonormale]] viene mappata in una nuova base ortonormale. *È importante notare che vale anche il teorema inverso: ogni operatore che trasforma una base ortonormale in un'altra base ortonormale è necessariamente un operatore ortogonale.*
#### Caratterizzazione matriciale e struttura di gruppo
Dal punto di vista algebrico, la condizione di ortogonalità impone un vincolo preciso sulla [[Matrici|matrice]] rappresentativa dell'operatore. Utilizzando la definizione di [[Trasformazione trasposta|trasposta]], la relazione $\mathbf{Q} \mathbf{u} \cdot \mathbf{Q} \mathbf{v} = \mathbf{u} \cdot \mathbf{Q}^{T} \mathbf{Q} \mathbf{v} = \mathbf{u} \cdot \mathbf{v}$ implica che:
$ \color {green}
\begin{equation*}
\mathbf{Q Q}^{T}=\mathbf{Q}^{T} \mathbf{Q}=\mathbf{I} \quad \Longleftrightarrow \quad \mathbf{Q}^{-1}=\mathbf{Q}^{T}
\end{equation*}
$
Questa proprietà indica che le trasformazioni ortogonali sono sempre [[Matrici invertibili|invertibili]] e che la loro inversa coincide con la trasposta. L'insieme di queste trasformazioni forma una struttura algebrica nota come **gruppo ortogonale**, indicato solitamente con $O(n)$, poiché soddisfa i requisiti di:
- **Chiusura**: La composizione di due trasformazioni ortogonali $\mathbf{R}$ e $\mathbf{Q}$ è ancora ortogonale, come dimostrato dall'invarianza del prodotto scalare: $(\mathbf{R Q}) \mathbf{u} \cdot(\mathbf{R Q}) \mathbf{v} = \mathbf{R}(\mathbf{Q u}) \cdot \mathbf{R}(\mathbf{Q v}) = \mathbf{Q u} \cdot \mathbf{Q v} = \mathbf{u} \cdot \mathbf{v}$.
- **Elemento neutro**: L'identità $\mathbf{I}$ è banalmente ortogonale.
- **Inverso**: Se $\mathbf{Q}$ è ortogonale, anche $\mathbf{Q}^{-1}$ (ovvero $\mathbf{Q}^{T}$) lo è.
#### Rotazioni
Il [[Determinante|determinante]] di una matrice ortogonale è vincolato dalla relazione $\mathbf{Q} \mathbf{Q}^{T} = \mathbf{I}$.
Applicando il teorema di Binet:
$ \color {green}
\operatorname{det}\left(\mathbf{Q} \mathbf{Q}^{T}\right)=(\operatorname{det} \mathbf{Q}) \operatorname{det}\left(\mathbf{Q}^{T}\right)=(\operatorname{det} \mathbf{Q})^{2}=\operatorname{det} \mathbf{I}=1 \quad \Longrightarrow \quad \operatorname{det} \mathbf{Q}= \pm 1 .
$
In base al valore del determinante, si distinguono due classi di trasformazioni:
- **Rotazioni (o trasformazioni ortogonali proprie)**: Caratterizzate da $\det \mathbf{Q} = +1$. Esse preservano l'orientazione dello spazio e formano il sottogruppo speciale ortogonale $SO(n)$.
- **Riflessioni (o trasformazioni ortogonali improprie)**: Caratterizzate da $\det \mathbf{Q} = -1$. Esse invertono l'orientazione dello spazio (es. riflessioni speculari).
Nella [[Cinematica del corpo rigido|cinematica del corpo rigido]], le matrici di rotazione sono fondamentali per descrivere il [[Cambiamenti di riferimento cartesiano|cambio di riferimento]] tra una terna fissa e una terna solidale al corpo, garantendo che le distanze relative tra i punti del sistema rimangano invariate durante il moto.
### Collegamenti
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