> [!Info]- Legenda $A, B, C$: Insiemi $x$: Elemento di un insieme $\in$: Appartenenza $\notin$: Non appartenenza $\cup$: Unione $\cap$: Intersezione $-$: Differenza $^c$: Complemento $\mathbb{N}$: Numeri naturali $\mathbb{Z}$: Numeri interi $\mathbb{Q}$: Numeri razionali $\mathbb{R}$: Numeri reali $\mathbb{C}$: Numeri complessi $i$: Unità immaginaria Un insieme è una collezione ben definita di oggetti distinti, chiamati elementi. Gli insiemi possono essere finiti o infiniti e sono solitamente denotati da lettere maiuscole, mentre i loro elementi sono rappresentati da lettere minuscole. La teoria degli insiemi è fondamentale per la comprensione delle [[Funzioni|funzioni]], delle relazioni e delle [[Strutture algebriche|strutture algebriche]] come gruppi, anelli e campi. **Definizione Formale** Un insieme $A$ è definito come una collezione di elementi $a_1, a_2, \ldots, a_n$, e si scrive come $A = \{a_1, a_2, \ldots, a_n\}$. Se un elemento $x$ appartiene all'insieme $A$, si scrive $x \in A$; altrimenti, si scrive $x \notin A$. #### Operazioni sugli Insiemi 1. **Unione**: L'unione di due insiemi $A$ e $B$, denotata $A \cup B$, è l'insieme degli elementi che appartengono almeno a uno dei due insiemi.$ A \cup B = \{x \mid x \in A \text{ o } x \in B\} $ 2. **Intersezione**: L'intersezione di due insiemi $A$ e $B$, denotata $A \cap B$, è l'insieme degli elementi comuni a entrambi gli insiemi. $ A \cap B = \{x \mid x \in A \text{ e } x \in B\} $ 3. **Differenza**: La differenza tra due insiemi $A$ e $B$, denotata $A - B$, è l'insieme degli elementi che appartengono ad $A$ ma non a $B$. $ A - B = \{x \mid x \in A \text{ e } x \notin B\} $ 4. **Complemento**: Il complemento di un insieme $A$, denotato $A^c$, è l'insieme degli elementi che non appartengono ad $A$ rispetto a un insieme universo $U$. $ A^c = \{x \mid x \in U \text{ e } x \notin A\} $ #### Proprietà degli Insiemi - **Proprietà commutativa**: $A \cup B = B \cup A$ e $A \cap B = B \cap A$ - **Proprietà associativa**: $(A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C)$ e $(A \cap B) \cap C = A \cap (B \cap C)$ - **Proprietà distributiva**: $A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)$ e $A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)$ #### Insiemi numerici Gli insiemi numerici sono categorie di numeri che condividono proprietà comuni. Ecco una panoramica dei **principali insiemi numerici:** 1. **Numeri Naturali ($\mathbb{N}$)**: L'insieme dei numeri naturali include tutti i numeri interi positivi, includendo anche lo zero $ \color {orange} \mathbb{N} = \{0, 1, 2, 3, \ldots\}$ 2. **Numeri Interi ($\mathbb{Z}$)**: L'insieme dei numeri interi comprende tutti i numeri naturali, i loro opposti (numeri negativi) e lo zero $\color {orange} \mathbb{Z} = \{\ldots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \ldots\}$ 3. **Numeri Razionali ($\mathbb{Q}$)**: L'insieme dei numeri razionali include tutti i numeri che possono essere espressi come il rapporto di due numeri interi, con il denominatore diverso da zero. $ \color {orange} \mathbb{Q} = \left\{\frac{a}{b} \mid a, b \in \mathbb{Z}, b \neq 0\right\}$ 4. **Numeri Reali ($\mathbb{R}$)**: L'insieme dei numeri reali comprende tutti i numeri razionali e irrazionali. I numeri irrazionali sono quelli che non possono essere espressi come frazioni, come $\sqrt{2}$ e $\pi$. 5. **Numeri Complessi ($\mathbb{C}$)**: L'insieme dei numeri complessi include tutti i numeri della forma $a + bi$, dove $a$ e $b$ sono numeri reali e $i$ è l'**unità immaginaria**, definita come $\sqrt{-1}$ $\color {orange} \mathbb{C} = \{a + bi \mid a, b \in \mathbb{R}\}$ ==Ogni insieme numerico è un sottoinsieme del successivo, con i numeri complessi che rappresentano l'insieme più ampio.== $ \color {green} \mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \subset \mathbb{C}$ ![[Pasted image 20250618111733.png]]