> [!info]- Legenda > - $v$: Vettore generico nello spazio vettoriale. > - $a_i$: Scalare utilizzato nelle combinazioni lineari. > - $\{v_1, v_2, \ldots, v_n\}$: Insieme di generatori. > - $\{b_1, b_2, \ldots, b_n\}$: Base dello spazio vettoriale. --- Un **insieme di generatori** di uno [[Spazio vettoriale|spazio vettoriale]] è un insieme di vettori tali che ogni vettore nello spazio può essere espresso come combinazione lineare di questi. Una **base** è un insieme di generatori che è anche linearmente indipendente, il che significa che nessun vettore della base può essere scritto come combinazione lineare degli altri. Formalmente si dice che: - Un insieme di vettori $\{v_1, v_2, \ldots, v_n\}$ è un **insieme di generatori** di uno spazio vettoriale $V$ se ogni [[Vettori|vettore]] $v \in V$ può essere scritto come $v = a_1v_1 + a_2v_2 + \ldots + a_nv_n$, dove $a_1, a_2, \ldots, a_n$ sono scalari. - Una **base** di uno spazio vettoriale $V$ è un insieme di vettori $\{b_1, b_2, \ldots, b_n\}$ che è un insieme di generatori e i vettori sono linearmente indipendenti. Questo implica che l'unica combinazione lineare che produce il vettore nullo è quella in cui tutti i coefficienti sono zero. - La **dimensione** di uno spazio vettoriale è il numero di vettori in una base di quello spazio. *Questo numero è un invariante dello spazio vettoriale.* #### Linearità e Indipendenza Per dimostrare che un insieme di vettori è una **base**, è necessario verificare due condizioni: 1. che l'insieme generi lo spazio 2. che i vettori siano [[Spazio vettoriale|linearmente indipendenti]] La linearità si verifica mostrando che ogni vettore nello spazio può essere espresso come combinazione lineare dei vettori dell'insieme. L'indipendenza lineare si dimostra mostrando che l'unica soluzione all'equazione $a_1b_1 + a_2b_2 + \ldots + a_nb_n = 0$ è $a_1 = a_2 = \ldots = a_n = 0$ ##### Esempio di Calcolo Consideriamo lo spazio vettoriale $\mathbb{R}^3$. Un esempio di base è l'insieme $\{(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)\}$. Ogni vettore $(x, y, z) \in \mathbb{R}^3$ può essere scritto come $x(1,0,0) + y(0,1,0) + z(0,0,1)$, dimostrando che l'insieme genera lo spazio. Inoltre, nessuno dei vettori può essere scritto come combinazione lineare degli altri, dimostrando l'indipendenza lineare. #### Visuals --- <div class="iframe-container"> <iframe width="560" height="315" src="https://www.youtube.com/embed/k7RM-ot2NWY?si=2-J8l1PkO3Nqhjqd" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" referrerpolicy="strict-origin-when-cross-origin" allowfullscreen></iframe> </div> [Linear combinations, span, and basis vectors | Chapter 2, Essence of linear algebra](https://youtu.be/k7RM-ot2NWY?si=Y33xHxClZiRrgeNd)